Старое и новое о круге - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
6. Еще одно доказательство теоремы о вписанном угле. Предположим, что центр окружности О располагается внутри вписанного угла ABC (рис. 30). Опустим пер-п е н д и кул я р ы OD' и OE' н а стороны угла и обозначим через DnE точки пересечения этих перпендикуляров с окружностью. Тогда AD = CD и
CE = BE и, следовательно, дуга DE составляет половину дуги AB1 причем это обстоятельство не зависит от местополо-жения точки С на окружности. Р"с. 30.
Таким образом, центральный
угол DOE1 опирающийся на дугу DE1 оказывается постоянным. В четырехугольнике OD1CE' два противоположных угла D' и E' прямые, поэтому сумма двух других углов равна 2d; но угол DOE — постоянный, следовательно, вписанный угол ACB также будет постоянным.
Упражнение 24. Как видоизменяется доказательство в случае, когда центр О лежит вне вписанного угла?
27
7. Метод вращения. Мы до сих пор не пользовались одним из самых естественных методов доказательства, если иметь в виду изучение свойств круга, а именно, методом вращения. Пусть ACB вписанный угол (рис. 31)« Рассмотрим угол ABD, образованный хордой и касательной, и будем вращать его вокруг центра окружности до тех пор, пока его вершина В не попадет в точку В', являющуюся серединой дуги ВС. Назовем ©тот угол в его новом положении углом A'B'D*'. В силу равенства AA' — BB' = CB' и на основании теоремы из п. 2 § 3 сторона AB, занявшая положение А'В\ станет параллельной стороне АС. Далее, поскольку В'В = В'С, касательная BD в новом положении B'D' будет параллельна стороне
СВ. Таким образом, углы ACB и A'B'D', как имеющие параллельные и одинаково направленные стороны, равны между собой. Из равенств ZACB = ZA'B'D' и ZA'B'D' = ZABD вытекает, что ZACB = ZABD7 а это означает, что величина вписанного угла не зависит от положения точки С на рассматриваемой дуге.
8. Метод параллельного переноса. В качестве еще одного метода доказательства теоремы о вписанном угле воспользуемся параллельным переносом.
Здесь также придется различать несколько случаев.-Предположим сначала, что сторона вписанного угла, например AC9 проходит через центр О окружности (рис. 32).
Проведем через О прямую, параллельную ВС; тогда на основании теорем о соответственных и накрестлежа-щих углах получаем, что центральный угол вдвое больше вписанного.
Рели теперь предположить, что центр О находится внутри вписанного угла ACB (рис. 33), то этот угол при помощи параллельного сдвига можно привести в положение А'С'В\ при котором сторона В'С проходит через
центр. Тогда ?'=-^', и поскольку CC = BB'= AA' и,
28
следовательно, дуги AB' + В'В и AB' + А'А равны друг другу, то опирающиеся на них центральные углы также равны: ф = ф'.
Рис. 32. Рис. 33.
Упражнение 25. Как проводится доказательство в случае, когда О лежит вне вписанного угла?
Упражнение 26. Как выглядит доказательство, когда вписанный угол тупой?
9. Обратная теорема о вписанном четырехугольнике.
Сравнивая формулировку теоремы о вписанном и описанном четырехугольниках, а также различные доказательства их, можно заметить, что между ними существует некоторая двойственность. Равенству углов в одних теоремах соответствует равенство отрезков в других, и наоборот. Посмотрим, не может ли это соображение оказаться плодотворным для доказательства обратной теоремы о вписанном четырехугольнике. В качестве Рис. 34. примера применения идеи
двойственности, которым можно будет руководствоваться и в дальнейшем, рассмотрим первое доказательство обратной теоремы об описанном четырехугольнике.
29
При этом мы будем стараться употреблять те же словесные обороты, что и в п. 4 § 6 (рис. 34).
Пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD суммы противоположных углов равны а + і = ? + S. Если аир отличны друг от друга, то без нарушения общности можно предполагать, что ?>a и тем самым f > 8. Отложим угол а от прямой AB (В примем за вершину), язляющейся одной из сторон угла ?, и обозначим точку пересечения другой стороны отложенного угла с AD через В'. Таким же способом отложим S от стороны DC угла 7 и обозначим точку пересечения другой стороны отложенного угла AD через С'. Наконец, пусть точкой пересечения CC и BB' будет А'. Полученные при этом треугольники ABB', DCC и САГВ будут равнобедренными; последний в виду равенства ? — a = if — o. Оси симметрии этих равнобедренных треугольников будут одновременно биссектрисами углов CiA'В'С и поэтому пересекаются в одной точке, отстоящей на одном и том же расстоянии от всех четырех вершин четырехугольника. Но это означает, что четырехугольник ABCD — вписанный.
Достигнутый успех позволяет нам подобным же образом использовать доказательство второй обратной теоремы об описанном четырехугольнике. Возьмем произвольный выпуклый четырехугольник ABCD (рис. 35).
Около треугольников ABC и ADC всегда можно описать окружности. Отрезок AC будет их общей хордой, а точки BwD определяют некоторый двуугольник. Из центров Oi и O2 обеих окружностей проведем радиусы в вершины соответствующих треугольников. Будем счи-
