Старое и новое о круге - Литцман В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. б.
12
ный угол, образованный двумя радиусами, проведенными в концы хорды (заметим, что мы здесь получили два центральных угла, один из которых будет больше развернутого угла, поскольку хорда не проходит через центр; в противном случае будут развернутыми оба угла). Углы, образованные этими радиусами и хордой, равны друг другу.
Проведем две параллельные хорды окружности, тогда заключенные между ними дуги будут равны. Обратно, если дуги, заключенные между двумя хордами, равны, то хорды параллельны (здесь, конечно, предполагается, что хорды не являются диаметрами).
Упражнение 6. Что произойдет, если одна из хорд станет в пределе касательной?
Из того, что хорда симметрична относительно перпендикуляра, восставленного из ее середины, следует, что зеркальное отражение любой точки окружности относительно диаметра будет снова точкой окружности. А отсюда вытекает такое определение окружности: всякая окружность есть геометрическое место точек, симметричных некоторой точке относительно всевозможных прямых некоторого пучка.
Упражнение 7. Как найти центр и радиус окружности, пользуясь этим определением? Преимущество такого определения заключается в том, что оно охватывает и так называемый случай вырождения, когда окружность переходит в прямую. Это соображение возникает, если предположить, что центр окружности неограниченно удаляется. В этом случае пучок прямых, сходящихся в одной точке, заменяется пучком параллельных прямых.
3. Рисунок 7 показывает далее, что касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярны друг к другу; следовательно, перпендикуляр к касательной, восставленный в точке касания, проходит через центр.
13
4. Из симметрии рис. 8 заключаем: отрезки касательных между точкой их пересечения и точками касания равны друг другу. Ось симметрии делит пополам хорду, соединяющую точки касания, а также угол между касательными и центральный угол, образованный радиусами, проведенными в
точки касания; кроме того, эта ось перпендикулярна к хорде, а углы, образованные хордой и касательными, равны друг другу.
5. Осью симметрии двух непересекающихся окружностей
Рис. 8,
Рис. 9.
является секущая, проходящая через их центры (рис. 9). Наименее и наиболее удаленные друг от друга точки этих окружностей лежат на оси симметрии.
6. Осью симметрии двух окружностей, касающихся друг друга извне или изнутри, снова будет общая секущая, проходящая через их центры и, кроме того, через точку касания (рис. 9).
7. Ось симметрии двух пересекающихся окружностей делит пополам их общую хорду и перпендикулярна к ней. Точки пересечения делят как одну, так и другую окружности на две дуги. Каждая из дуг одной окружности образует с каждой из дуг другой двуугольник (рис. 10).
Упражнение 8. Сколько двуугольников получается при пересечении двух окружностей?
14
8. Частный случай. Если две пересекающиеся окружности имеют равные радиусы, то их общая хорда будет второй осью симметрии (рис. 11). Двуугольник, который при этом получается, называют равнодушным. С помощью фигуры из двух пересекающихся окружностей
Рис. 10. Рис. 11.
одинакового радиуса можно решить следующие четыре основные задачи на построение:
1. Разделить отрезок пополам.
2. Разделить угол пополам.
3. Восставить перпендикуляр.
4. Опустить перпендикуляр.
Упражнение 9. Решите четыре основные задачи на построение с помошью равнодужного двуугольника.
9. Построение касательных с помощью фигуры из двух окружностей. Задача на построение касательной к окружности из внешней точки решается обычно посредством так называемой окружности Фалеса х). Здесь
1J Теорема Фалеса о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым, есть частный случаи более общего предложения, которому мы целиком посвящаем § 5. Но эту теорему весьма легко доказать и непосредственно, рассматривая рис. 12 и пользуясь некоторыми уже известными нам фактами. Соединим произвольную точку С окружности с концами А и В какого-нибудь диаметра и проведем радиус ОС; при этом углы, отмеченные одинаковыми значками, будут равны друг другу. А отсюда ZACB =» ZCAB + Z.CBA. И так как сумма внутренних углов треугольника составляет два прямых, угол ACB будет прямым.
15
мы встречаемся со вторым частным случаем фигуры, составленной из двух окружностей, когда одна окружность проходит через центр другой (рис. 13). Пусть тре
о
о
в
D
Рис. 12.
Рис. 13.
буется построить из внешней точки P касательную к окружности с центром в точке О. На отрезке OP как на диаметре построим вспомогательную окружность, ко-
торая пересекает данную в точках Ci и C2. Прямые PCi и PC2 будут искомыми касательными. 10. Концентрические
окружности. Окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими. Сейчас мы познакомимся еще с одним способом построения касательной, известным примерно на 2000 лет
раньше, чем рассмотрен-Рис. 14. ный в предыдущем пунк-
те. Им пользовался еще Евклид, тогда как первый описанный нами способ появился в Европе только в 19 веке. Проведем из точки О (рис. 14) как из центра вспомогательную окружность, концентрическую с данной, так чтобы она прошла через точку Р. Точку пересечения прямой OP с данной окружностью обозначим через Q
