Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Мы ввели эти понятия, связанные с отражениями, в интересах дальнейшего изложения и унификации формулировок ряда основных результатов. Группы, фуксовы комплексы которых допускают отражения,— это так называемые неевклидовы кристаллографические группы (Уилки [1966]), о которых известно несколько меньше, чем о классических фуксовых группах, и мы отложим до следующего раздела (см. 111.8 ниже) изложение некоторой специальной информации о них.
Предложение 7.1. Пусть у группы G есть фуксов комплекс К. Тогда G обладает видоизмененным представлением G=(X, J; R), видоизмененный комплекс Кэли C=C(X, J; R) которого дуален к К. Кроме того, если элемент g из G отображает грань D комплекса К в грань gD, av uv' —вершины комплекса С, лежащие в D и gD соот-
«uss».
190 Гл. III. Геометрические методы
ветственно, то v' =gv. Если К — комплекс без отражений, то в качестве С можно взять обычный комплекс Кэли.
? Выберем грань D0 в К. Пусть L — множество таких элементов g из G, что D0 и gD0 имеют общее ребро. Поскольку g~1D0DD0= =g~1(D0 ПgD), iog'1 принадлежит L, если^? L. Обозначим через J множество отражений из L, т. е. тех нетривиальных элементов, которые оставляют на месте ребра на границе грани D0. Пусть X — это множество, в которое входит ровно один элемент каждой пары {g, g'1}, содержащейся в z — 7. Мы установим, что XUJ порождает группу G, для чего достаточно показать, что L порождает эту группу. Для любого элемента из G выберем путь на плоскости из точки внутри D0 в некоторую точку, внутреннюю для gD0. Поскольку множество вершин комплекса К не имеет предельных точек, путь р может проходить лишь через конечное число вершин, и деформацией в окрестностях этих вершин можно добиться того, чтобы р не проходил ни через какую вершину. Тогда путь р проходит
последовательно через g0D0.....gnD0, где g0=l и gn=g, причем
giD0 и gi+iD0 имеют общее ребро. Если для 0^/<Ся записать gt+i= =gihi+u то, поскольку у граней gtD0 и gi+iD0=gihi+1D0 есть общее ребро, грани D0 и hi+iD0 также имеют общее ребро, а значит, hi+i лежит в L. Но g=hi.. .hn принадлежит в таком случае подгруппе, порожденной множеством L. Для определения видоизмененного представления возьмем группу F, порожденную множествами XwJ, находящимися во взаимно однозначных соответствиях с X и J, и индуцирующим гомоморфизмом 0 из F на G. Множество R будет определено автоматически, как только мы построим одномерный остов видоизмененного комплекса Кэли С.
Имитируя барицентрическое подразделение, выберем для каждой грани D из К внутреннюю точку v (D), а для каждого ребра е — внутреннюю точку v(e); наконец, для каждого ребра е на границе клетки D выберем путь p(D, е) из v(D) в v(е). Эти пути можно выбрать так, чтобы они не пересекались (за исключением конечных точек) и чтобы весь путь p(D, е), кроме точки v(e), находился внутри грани D. В качестве вершин в С мы возьмем точки v (D); при соответствии v(gD0) группа G действует на них, как и требуется. Далее, для данной грани gD0 все грани, имеющие с ней общее ребро,— это в точности грани ghD0 для hQL; для каждой из них введем реброe*=/?(g?>0, e)p(ghD0, е)-1 из v(gD0) в v(ghD0) и припишем ему в качестве метки прообраз элемента h в L=X (J X-1 (J J- Этим заканчивается построение одномерного остова С1 комплекса С, и грани определяются как компоненты дополнения к С1. Множество R составляем, выбирая для каждой ограниченной грани из С с началом в V (D0) граничную метку г, которая (в понятном смысле) начинается в V (D0). Тогда грани и элементы из R связаны так, как и должны
7. Фуксовы комплексы
I9l
быть связаны в диаграмме Кэли. Из стандартных соображений ясно, что нормальное замыкание множества R есть ядро N отображения 6 из F на G, т. е. C=C(X, J; R) действительно является видоизмененным комплексом Кэли для G. ?
Докажем теперь обратное.
Предложение 7.2. Если группа G имеет конечное видоизмененное представление G=(X, J; R), такое, что комплекс C=C(X, J; R) строго планарен, то у нее есть фуксов комплекс К, дуальный к С. Комплекс К не имеет отражений тогда и только тогда, когда данное представление является обычным.
? Предположим, что С уже вложен в плоскость как планарный комплекс. Таким образом, группа G как множество вершин комплекса С может быть отождествлена с некоторым множеством точек плоскости. Мы подразделим комплекс С, выбирая внутри каждой грани, конечной или бесконечной, точку V(D), точку v(e) внутри каждого ребра, а для каждой грани D и каждого ребра е ее границы dD — путь p(D, е) из v(D) в v(e), такой, что он расположен внутри D, кроме конца v(e), причем эти пути не пересекаются, если не считать точки V(D). Пусть Q — одномерный комплекс, состоящий из одномерного остова комплекса С и новых точек и путей (каждое ребро комплекса С считается, конечно, теперь за два ребра в Q). Обозначим через С* комплекс, одномерный остов которого — это Q, а грани — все компоненты дополнения к Q в плоскости.
Каждая грань в С* оказывается частью некоторой грани D из С, и на ее границе имеется единственная вершина g комплекса С. Обозначим такую грань через (D1 g). Таким образом, грани комплекса С* взаимно однозначно соответствуют таким парам (D, g), что g лежит на dD. Пусть S(g) — объединение граней f(D, g) для всех D, инцидентных с g. Поскольку допускаются неограниченные клетки D, то объединение всех граней D, инцидентных с g, содержит некоторую окрестность точки g; и легко видеть, что 5 (g) есть конечный многоугольник с внутренней точкой g. Ясно, что S(g) не пересекаются, если не считать границ, и их объединение есть вся плоскость. Пусть К — комплекс, грани которого — это все S (g), а ребрами и вершинами являются такие ребра и вершины из С*, которые лежат на границе некоторой клетки S (g). Ясно, что комплекс К дуален к С.
