Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Каждая F-группа, очевидно, конечна или счетна. Ясно также, что мощность планарной группы не больше, чем континуум, а для групп этой мощности вложение комплекса Кэли, по-видимому, Должно быть весьма патологическим. Если потребовать, чтобы вложенный комплекс был локально конечным, то, очевидно, группа Должна быть конечно порожденной. Мы не предполагаем этого, но следующую теорему посвящаем группам с не более чем счетным множеством порождающих.
Предложение 5.5. Пусть G является либо F-группой, либо свободным произведением не более чем счетного числа циклических
180 Гл. III. Геометрические методы
групп. Если группа G конечна, то она обладает представлением, комплекс Кэли которого вложим в сферу, а если бесконечна,— то представлением, комплекс Кэли которого вложим в плоскость.
? Известно, конечно, гораздо больше. На основе геометрических и аналитических представлений можно, разумеется, получить гораздо более сильные результаты, однако приведенное скромное утверждение допускает более элементарное доказательство. Пусть сначала G — это f-группа или свободное произведение с представлением G=(X; R), таким, что множество S корней из элементов, лежащих в R, строго квадратично над X, а граф 2 (S) цикличен. Это означает, что ребра и грани с вершиной v образуют некоторую окрестность N (v) точки v. Такие множества N(v), очевидно, покрывают комплекс С, а значит, каждая точка (не обязательно вершина) в геометрической реализации комплекса С имеет окрестность, гомеоморфную кругу. Отсюда следует, что С является связным двумерным многообразием без края. В силу 4.2 комплекс С односвя-зен и является плоскостью или сферой. Если группа G конечна, то в С содержится конечное число клеток, а следовательно, этот комплекс должен быть сферой, а не плоскостью. Если же группа G бесконечна, то комплекс должен быть плоскостью, ибо легко видеть, что С есть объединение бесконечной возрастающей последовательности топологических кругов, таких, что граница каждого находится внутри следующего. Такое объединение не может быть сферой.
Пусть теперь G разлагается в свободное произведение циклических групп, G=(xt, і QI; хТ', і Ql), где множество индексов / не более чем счетно, а все т,- больше или равны 0. Если группа G конечна, то она циклична и является F-группой — случай уже рассмотренный, так что считаем группу G бесконечной. Выберем вершину v на плоскости и для каждого і Q I выпустим из v пару ребер еІУ є'і, расположенных так, что между ег и е\ (при обходе вершины о) нет никаких ребер. Если т{>0, то строим петлю длины т; с началом в v, первым ребром е, и последним ребром el'1. Пометим все ребра петли I1 буквой xt. Если D1 — область, ограниченная петлей I1, то ее граничной меткой является x?i. Если же тг=0, то выберем два бесконечных пути I1 и 1\, выходящих из у и не имеющих других пересечений. Первый начнем ребром eit а второй — ребром el, сопоставляя всем ребрам первого пути метку xt, а ребрам второго пути — метку Xj1. Пусть D1 — неограниченная область, расположенная между /( и V1 при обходе v по часовой стрелке. (Все это можно проделать без особенностей. Например, мы можем взять v в начале координатной системы, а каждую D4 в правом верхнем секторе, заключенном между лучами, выходящими из v с наклонами 1/2/ и 1/(2/+1).) Образованный комплекс обозначим пока через С„.
.¦мт.-
S. Планарные комплексы Кэли 181
Предположим теперь по индукции, что мы уже имеем комплекс Cn, который содержит C0 и в котором звезда каждой вершины v' содержится в подкомплексе C(v'), изоморфном подкомплексу комплекса C0. Можем считать комплекс C(v') максимальным с этим свойством. Если C(v') не изоморфен еще всему C0, то мы можем расширить C(v') тем же способом, каким мы перед этим конструировали комплекс C0. Обозначим через Cn+1 результат применения такой процедуры ко всем C(v') для v' QCn, скажем, в порядке возрастания длины кратчайшего пути из о к о'. Тогда объединение всех Cn есть, очевидно, комплекс Кэли для данного представления. ?
Мы дадим более эффективное построение комплекса Кэли представления, обладающего планарным комплексом Кэли. Оно дает очень простое решение проблемы равенства слов для таких групп, хотя такое доказательство, видимо, менее изящно и полезно, а кроме того, имеет меньше приложений, чем другие доказательства.
Для произвольного графа С определим расстояние d(v, v') между двумя его вершинами v и и' как минимальную из длин путей, соединяющих их. Тогда для любого п~^0 и любой вершины V шар радиуса п с центром в v — это подкомплекс Bn(C, v), множество вершин которого есть V= {v'; d(v,u')^n}, а ребрами и гранями являются те ребра и грани из С, которые не инцидентны никаким другим вершинам, кроме точек из V.
Лемма 5.6. Если для некоторого представления G=(X; R) одномерный остов Bn шара Bn (С, 1) в C=C(X; R) при каждом п конечен и его можно эффективно построить, то для этого представления проблема равенства слов разрешима.
? Пусть задано w Q F, и нужно определить, содержится ли w в N. Пусть р — путь в комплексе С с началом в 1 и меткой w. Тогда wQ N в том и только том случае, когда р является петлей, т. е. кончается в 1. Но ясно, что р содержится в B]x для n=\w\. Если Bn строится эффективно, то можно проверить, является ли 1 концом пути р. ?
