Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Обратимся к другой классической теореме, доказательство кото-Рой опять же подсказано работой Хора, Карраса и Солитэра [1971,
№ 653
94
Гл. 111. Геометрические методы
1972]. После некоторой подготовки мы дадим комбинаторный вариант формулы Римана и Гурвица для индекса. См. Линдон [1976].
Начнем с комбинаторного определения угла. Если К — планар-ный комплекс, то определим угловую меру на К как вещественно-значную функцию а, определенную на тройках (v, е, е'), где е и е' — ребра, исходящие из вершины v, и удовлетворяющую следующему условию:
если ей ... , еп, гС^\, есть система ребер, выходящих из вершины и и расположенных в циклическом порядке, то a(v, еи е2)+. .. .. . +оф, еп_ь en)+a(v, еп, е1)=2п.
Вместо a(v, eit є,) будем писать а,ц. Тогда в случае п=2 это условие дает а12+а21=2я, а в случае п=3 получим а12+а23+а31= =2я. Комбинируя эти равенства, получаем:
если еи е2, е3 — ребра, расположенные в циклическом порядке вокруг вершины V, то
0^3=0^12+0^23-
Для данной угловой меры а определим кривизну х (р) замкнутого пути р=ех.. .еп формулой
х (р) = (я—а12)+.. .+(я—„)+(я—аП)1).
По аналогии с формулой Гаусса — Бонне определим площадь подкомплекса S, ограниченного простым замкнутым путем, как A (S)=X(P)—2л.
Предложение 7.5. Пусть S1 и S2 — два подкомплекса с простыми границами планарного комплекса /(,а — угловая мера на К и А — ассоциированная с ней мера площадей. Допустим, что S1 и S2 пересекаются лишь по одной граничной дуге. Тогда A (S1 (J S2)=A (S1)+ +A(S2).
? Пусть общая для S1 и S2 граничная дуга а идет от вершины M1 к вершине и2. Пусть, далее, углы в этих точках на границе подкомплекса S1 равны осі и ?b а на границе S2 равны а2 и ?2. Тогда S=S1LlS2 имеет граничный угол осі+а2 в точке U1 и ?2+?i в точке и2. Если и — некоторая внутренняя точка дуги а, в которой S1 и S2 имеют углы Y1 и Y2, то Yi+Y2=2tt, а значит, (я—Yi)+(n—Ya) — =0. Таким образом, x(dS) отличается от суммы x(dSi) и x(dS2) только добавлением разности [(я—(ос!+а2))+(я—(?j-J-?2))]—[(я— —а^+(я—?t)+(n—а2)+(я—?2)]=— 2л, короче, K(dS)=K(dS1)+ +X(OS2)—2я. Отсюда следует, что A (S)=A (SJ+A (S2). ?
Следствие 7.6. Пусть подкомплекс S планарного комплекса К является объединением граней D1, ... , Dn, причем каждое объединение D1 U D2 U -. .D1, І^і^я, ограничено простой замкнутой кривой. Пусть, далее, а есть угловая мера на К, а А — ассоциированная мера площадей. Тогда A (S)=A (D1)+.. .+A (Dn). ?
7. Фуксовы комплексы
195
Предложение 7.7. Если К — фуксов комплекс группы G, то существует угловая мера а на К, инвариантная относительно G.
? Пусть M=KfG— комбинаторное двумерное многообразие. (Очевидно, переход к факторпространству логически оправдан.) Мы знаем, что G имеет представление G=(X; R) с комплексом Кэли C=C(X; R), дуальным к комплексу К, и с множеством R = {r=smts); sQ S}, где S — конечное множество слов &F, строго квадратичное над базисом X. Орбиты множества S) граней комплекса С при действии группы G имеют вид S)r для всех г Q R, где S)r состоит из всех граней, носящих граничную метку г. Следовательно, орбиты множества вершин комплекса К имеют вид f^>r — они состоят из всех вершин в К, дуальных граням D из S>r. Поэтому для каждого г QR существует одна вершина vrB М. Если D есть грань из С с граничной меткой r=sm{s), то, как мы уже знаем, ее стабилизатор CD (относительно действия G на С) цикличен, порожден элементом, сопряженным с s, и имеет порядок m(s). Если v — дуальная вершина из М, то, следовательно, она является точкой ветвления кратности m(s) при проекции К М. Поэтому, выбрав на M угловую псевдомеру так, чтобы сумма углов в каждой вершине vr равнялась 2п/т (s), и подняв ее в К, мы получим настоящую инвариантную угловую меру на К- Ясно, что любая инвариантная угловая мера на К может быть задана таким способом. ?
Из каждой вершины vr на М, где r=smis), выходит IsI (длина s) ребер, а значит, столько же минимальных углов. Меры этих углов подчиняются лишь одному условию — их сумма равна 2nfm(s). Кроме того, условия для разных вершин из M независимы. Таким образом, мы видим, что в вершине vr множество угловых мер естественным образом гомеоморфно (топология очевидна) пространству Rl5'-1, а множество всех угловых мер на К — пространству E <М-1>
Покажем далее, что мера площадей А, ассоциированная с некоторой инвариантной угловой мерой а, в сущности, не зависит от а. Это является прямым следствием такой теоремы.
Предложение 7.8. Пусть G — это F-группа с представлением G=(X; R), где R={sm{s>; sQS} в обозначениях разд. III.4. Пусть К — фуксов комплекс для G, а А — грань из К- Если а —произвольная угловая мера на К и к — связанная с ней кривизна, то
? Достаточно будет установить эту формулу для грани А (1) из К, Дуальной вершине 1 из С. Итак, у комплексов С и К существует общее барицентрическое подразделение В, и действие группы G продолжается очевидным образом на В. Если вершина g из С лежит
196
Гл. III. Геометрические методы
на границе клетки D, то имеется ровно два треугольника в В, содержащихся в D и инцидентных с g; обозначим объединение этих треугольников через A (D, g). Очевидно, что грань Д (g) в К, дуальная вершине g, является объединением этих A(D, g) для всех граней D из С, инцидентных с g.
