Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 5.7. Если представление (X; R) имеет планарный комплекс Кэли, то проблема равенства слов для этого представления разрешима.
D Можно считать, что G=(X; R) — бесконечная Лгруппа. Мы Должны показать, как построить Bn(C) для C=C(X; R) и произвольного п. Допустим, что некоторый двумерный комплекс К является комбинаторным кругом, причем его ребра помечены элементами из L так, что (е-1)ф=(еф)-1, а гр — (сохраняющий метки) гомоморфизм комплекса К в С, являющийся инъективным на клет-
182
Гл. III. Геометрические методы
ках, за исключением, возможно, вершин на границе дК. Ясно, что гр не может быть эпиморфизмом и дКфО. Пусть некоторое ребро е в дК инцидентно грани D комплекса К. Образ eip отделяет в С Dip от некоторой другой грани D'. Пусть 9 — вложение D' в С, а К'— факторпространство дизъюнктного объединения К U D' по ядру отображения яри 9: KuD'-^C. Обозначим через гр' индуцированное отображение из К' в С. (Обычно К' является объединением К и D' с отождествленным отрезком границы р, содержащим е; но если р отождествляется со всей dD', то два конца отрезка р в К станут одной точкой в /С'.) Из предположения относительно гр и инъективности отображения 9 следует, что гр' инъективно, за исключением, может быть, вершин в дК'. Имеется также индуцированный гомоморфизм о из К в /С', такой, что 0гр'=гр.
Очевиден способ, каким нужно каждый раз выбирать ребро е, чтобы, повторяя эту конструкцию, мы могли построить К*, гр* (удовлетворяющие тем же условиям, что и /С, гр) и отображение о*: К-+К*, такое, что о*гр*=гр, причем дополнительно получить включение К==(К*—дК*). Начнем теперь с комплекса Ко, содержащего единственную вершину и0, и отображения гро: U0i—»-1 G С. Выбирая подходящие Kn+I=Kn, получаем отображения гр„: Kn-^C и ап: Kn^-Kn+1, такие, что все пары Kn, 1Pn удовлетворяют требованиям к К и гр, что апгрп+і=гр„ и Kn^(Kn+1-OKn+1). Проверка локального строения показывает, что прямой предел K«, этой системы изоморфен комплексу С при индуцированном отображении ¦ty^:
Из условия Kn^(Kn+1-OKn+1) с помощью индукции выводится, что Bn(C)^KnTpn. Значит, Ipn+1 отображает Bn(Kn+1, V0 на Bn(C, 1) изоморфно. Зная способ построения комплекса Kn+I' мы также получим Bn(Kn+U v<>), а значит, Bn(C, 1) и Bn(C, 1).
Нужно подчеркнуть, что в противоположность построению Ци шанга [1966] мы заранее считаем, что С лежит в плоскости. Инач не было бы гарантии инъективности отображения г|зп. Более общая конструкция комплексов Кэли приведена ниже в § III. 12.
Отметим одно обобщение предыдущего утверждения. Скажем,, что некоторый связный двумерный комплекс К удовлетворяет условию максимальности, если для любой вершины V0 и любого (замкнутого) комбинаторного круга QbK максимальное значение d(v0, v) для всех V из Q достигается на границе dQ. Линдон [1967] показал, что каждый двумерный комплекс типа С (3,6) или С (4,4) в смысле гл. V удовлетворяет условию максимальности, и из хорошо известных свойств F-групп нетрудно вывести, что в комплексе Кэли любого строго квадратичного представления такой группы также выполнено условие максимальности. В следующем утверждении предполагается, что представление рекурсивно; это автома-і тически выполняется, если R конечно.
6. F-группы. Продолжение
183
Предложение 5.8. Если комплекс Кэли некоторого представления удовлетворяет условию максимальности, то проблема равенства слов для этого представления разрешима.
? Нужно опять доказать конструктивность одномерного остова Bn шара Bn=Bn(C) комплекса Кэли С. Построим одномерный комплекс А с метками из Y следующим образом. Вершинами в А будут все элементы да из F, длина которых не больше п. Если для некоторого у из L как да, так и wy принадлежит А, то введем ребро е с меткой у, идущее от да к wy, а также ему обратное. Определим отношение ш«и на вершинах комплекса А, которое имеет место в точности тогда, когда существует путь от да к и, являющийся произведением путей вида zqz'1, где метка пути q принадлежит R*. Это есть, очевидно, отношение эквивалентности; более того, его можно расширить до эквивалентности на ребрах из А, которая сохраняет инцидентность и метки. Поэтому мы можем рассмотреть факторпрост-ранство В комплекса А по модулю этого отношения. Оно, очевидно, конечно и конструктивно, и мы собираемся доказать, что В изоморфно Bn.
Заметим сначала, что Bn односвязно. Для этого мы должны показать, что, если р — петля в Bn, то она стягиваема вBn.Очевидная редукция позволяет считать р простой петлей. Поскольку С односвязен, р есть граница комбинаторного круга QbC Условие максимальности говорит теперь о том, что круг Q лежит в Bn, ибо в Bn находится его граница р.
Для изоморфизма между В и Bn достаточно показать, что если w — некоторая вершина в Л и ее образ в С при очевидном отображении есть вершина 1, то да и 1 имеют одинаковый образ в В, т. е. да« 1. Предположение означает, что путь р в С с меткой да является петлей и что р лежит в ?„. Из стандартных соображений р~р\ ...
і
¦.. Pt, где каждый pi имеет вид zqz-1 для z, q из Bn, причем метка пути q принадлежит R*. Поскольку путь р из А с меткой w 1-эквивалентен произведению путей pi из А с теми же метками,
