Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 5.1. Если комплекс С планарен, то множество S квадратично над X.
? Если XQX, sQS и s содержит вхождение буквы X в виде х+ї или X'1, то существует единственная циклическая перестановка s* элемента s*1, которая начинается с этого вхождения буквы х. Следовательно, вхождения х в виде х или х-1 в элементы из S находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами из R*, начинающимися с х.
Для каждого г QR* существует ровно одна петля р с началом в данной вершине v и меткой рф=г. Имеется ровно одно ребро е, выходящее из и и удовлетворяющее условию еф=х. Это ребро может быть начальным не более чем у двух петель. Следовательно, существует не более двух элементов г Q R*, начинающихся с х. ?
Напомним (см. 1.7), что звездный граф 2 (S) множества S слов над X — это граф с множеством вершин L=X(JX-1 и неориентированными ребрами, соединяющими элементы у и г из L, если в некоторый элемент из S* входит г/_12 или (в случае, когда z=w-1) если у принадлежит множеству S*.
Остальная информация, которую можно извлечь из геометрического предположения планарности, состоит в следующем.
Предложение 5.2. Пусть конечное подмножество S0 в S строго квадратично над конечным подмножеством X0 из X. Тогда S0=S, ^о=Х и S (S) есть цикл,
178
Гл. Ill. Геометрические методы
? Зафиксируем вершину v и некоторую ориентацию окрестности этой вершины. При этом имеет смысл говорить о некотором циклическом порядке, в котором находятся ребра с началом в v и метками из L0=X0UXJ71, скажем, eu...,e2t, причем е^=уг, Z= = |Х0|. По предположению каждый yt встречается дважды в S0, а значит, уже знакомые нам рассуждения показывают, что имеется ровно две грани с вершиной и и граничными путями pup', которые, выходя из и, начинаются с ребра еи а их метками являются степени различных элементов s и s' из S*. Пути pup' оканчиваются ребрами е~г и е'-1, где е и е'— ребра, выходящие из v. Их метки у и у' входят в s и s', а следовательно, принадлежат множеству X0. Отсюда вытекает, что е и е' совпадают с et.x и ei+i.
Мы установили, что между соседними (в циклическом порядке) ребрами ві и е!+1 есть клетка D1-, граница которой с началом в вершине V имеет метку вида T1=S^1, S1^S*. Но эти ребра et и клетки Di образуют окрестность вершины v. Значит, среди них содержатся все клетки и ребра с вершиной v. Поэтому X0=X и S0=S. Поскольку граница клетки Dt содержит отрезок ei+1et, в ее метке есть вхождение уг+іУі, т. е. у і и у і+і связаны в 2 (S). Следовательно, S (S) является циклом. ?
Определим теперь F-группы как группы, обладающие конечным представлением G=(X; R), таким, что множество S корней из элементов множества R является строго квадратичным над X и имеет циклический звездный граф. Более явную характеризацию таких групп дают предложения 5.3 и 5.4. По существу это фуксовы группы (с ориентируемым или неориентируемым факторпространством), исключая те, которые разлагаются в свободные произведения циклических групп.
Предложение 5.3. Каждая F-группа обладает представлением вида
0 = (х{, хр, yit .... у„; X?', х^р, xt...xpq), еде р, п^О, все mt больше 1 и либо
Я = [Уі. У»]---\Hte-x. Уц] для п = 2g,
либо
q=yl---yl для n = g.
? Как следует из 1.7, можно преобразовать систему S с помощью подходящей последовательности автоморфизмов из F, приводя ее к виду Si=Xi, ..., Sp-1=Xp^1, Sp=X1... xp^q для некоторого р и слова q, имеющего одну из двух написанных выше форм над некоторым подмножеством Y0 множества остальных порождающих Y. Так как граф 2 (S) связен, то (см. 1.7.8) система S минимальна, а поскольку
5. Планарные комплексы Квли
179
она строго квадратична над X, ее общая длина равна 2|Х|. Следовательно, полученная из 5 таким преобразованием система имеет ту же длину, а значит, содержит все порождающие. Таким образом, получаем представление группы G вида
G = (X1, Xp-i, уи уп; X?1, х^р-ї, spV),
где все mt больше или равны 1, sp = X1... xp^q, a q имеет одну из нужных форм. Преобразованием Тице введем новую образующую хр и новое соотношение XpSp. Соотношение Sp-P может быть заменено при этом соотношением Xp1P. После удаления всех xt, для которых т{ = 1, и перенумерации X1 представление приобретает требуемый вид. ?
Легко видеть, что каждая группа вида 5.3 есть F-rpynna.
Предложение 5.4. Группа, обладающая представлением, комплекс Кэли которого вложим в двумерное многообразие, является либо F-группой, либо свободным произведением циклических групп.
? По предложению 5.1 планарная группа G обладает представлением G=(X; R), где множество S корней элементов из R квадратично над X. Множество 5 распадается на связные компоненты 5;, а базис X может быть разбит на множества X1 так,что каждое St квадратично над X; и множество X0, состоящее из порождающих, не встречающихся в 5. Пусть R1 — множество элементов, корни которых лежат в S1. Ясно, что группа G разлагается в свободное произведение группы G0=(X0; 0) и групп G1=(X1; R1). По предложению 5.2 если некоторое S1 конечно и строго квадратично над X1, то Si=S, X1=X, граф 2 (S) связен и G=G1 является по определению F-группой. В противном случае каждое S1 или бесконечно, или конечно, но не строго квадратично. Некоторый автоморфизм группы F, затрагивающий лишь элементы из Хг, позволяет считать (см. 1.7.4 или 1.7.5), что S1-CXj. Поэтому G1- есть свободное произведение циклических групп, а так как G0 — свободная группа, то группа G является свободным произведением циклических групп. ?
