Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Мы приводим доказательства лишь результатов, относящихся к произведениям с объединенной подгруппой; в частности, для теоремы Карраса — Солитэра приведено такое доказательство, из которого в качестве частного случая следует теорема X. Нейман (см. IV. 6.6 ниже) и теорема Куроша (см. III.5.1). Теми же самыми рассуждениями легко доказываются теоремы Цишанга и Смита. Согласно одному замечанию Розенбергера [1974], ограничения в теореме Цишанга неустранимы и аналог теоремы Грушко — Неймана, принадлежащий Смиту, должен быть частичным, поскольку примеры Бернса, Карраса, Петровски и Пужицки показывают, что естественный прямой аналог теоремы Грушко — Неймана для свободных произведений с объединенной подгруппой неверен.
Несмотря на то что мы следовали идеям разд. 1.9, особенно при изложении результатов Цишанга, наше изложение не является аксиоматическим. Более того, любая аксиоматизация в духе разд. 1.9 с использованием только универсальных аксиом дает больший класс групп. Действительно, как показывает приведенный ниже пример, подгруппа G* свободного произведения с объединенной подгруппой G= * Ну не обязана быть произведением с объединенной подгруп-
A
пой пересечений G* Г\Щ и каких-либо других собственных подгрупп группы G*.
Пример. Пусть A = (a; a3), H = (а, Ь; а3, Ь2, аь = а), K = = {а, с; а3, с2, ас = а~х), и пусть G = H#K.
А
Положим d = bc и G* = Gp (a, d). Тогда G* = (a, d; а3, аа = а-х). Заметим, что центр Z группы G* является бесконечной циклической группой с порождающим d2.
Предположим теперь, что G* = U*V, где все подгруппы U,V
в
И В различны. Тогда 2 должен содержаться в В п G = G*(Z =
Il. Свободные произведения с объединенной подгруппой 107
= 11*у, где U = UjZ, V=VjZ, B = BlZ и все U, V, В различ-
в -
ные. Отсюда следует, что G должна иметь бесконечный порядок.
В то же время понятно, что G = (a, d; a3, d2, ad = a~x) — диэд-ральная группа порядка 6.
Займемся теперь доказательством упомянутых выше теорем Карраса — Солитэра, Цишанга и Смита, сопровождая их различными более фрагментарными замечаниями. Будем предполагать, что определение и наиболее элементарные свойства свободных произведений с объединенной подгруппой читателю уже известны (см. ниже IV.2).
Пусть G — свободное произведение групп Hv, v?l, с объединенной подгруппой А. Условимся относительно терминологии и обозначений. Если и Є G, то либо и g А, либо U=A1... hm для некоторого т^\, где каждый элемент ht лежит в Ht1-A для некоторого v; и V1-T^=Vf + 1. В последнем случае число т и последовательность (V1,... ..., vm) однозначно определены элементом и; этого нельзя сказать (за исключением случая т=\ или A = I) о сомножителях ht; тем не менее мы называем произведение A1.. .An, нормальной формой для и. [Здесь мы допускаем обычную вольность речи: нормальная форма — это не произведение A1.. .Ат, которое просто равно самому элементу и, а последовательность (A1, ..., Ат).] Для рассмотренного выше элемента и определим длину \и\, полагая IuI=O, если и?А, и |u|=m в противном случае.
Будем писать X=U1.. Mn и говорить, что произведение U1. . .Un приведенное, если X=U1.. .Un и UI = Iu1I+.. . + IunI. Аналогично хз =p~l(hk)r означает, что x=p-1hkr и Ul = |р_1| + |А?| + |г|. Если X=U1U2=UiU2, где Iu2I = Iu2I, то и2=аи2 для некоторого А, т. е. Au2=Av2.
Если х, у?G, то существуют р, q, г, А и k, где h=k=l или \h\ = \k\ = \hk\ = l, такие, что
x = p~1hq, у = <7-1 kr и xy=p-x(hk)r.
Скажем, что q или некоторый отрезок слова q сократился в произведении ху\ в случае, когда |А| = |/г| = |А&] = 1, скажем, что часть А слова X слилась с частью слова у и дала часть hk. Если X=U1U2, то скажем, что X кончается на U2.
Следуя работе Цишанга [1970], мы будем существенно использовать тот факт, что каждый элемент u ? G может быть записан в виде
u = p~xhq, где |рI = 1^1 и |А|^1;
здесь Ар, Aq и AhA однозначно определены элементом и. Если |А|=1, то |и| нечетно. Если |и| четно, то либо и?А и|и| = 0, либо можно предполагать, что A=I и u = p-1g. Если Ap = Aq, то можно предполагать, что и = P-1Hp1 где обязательно |А|=1.
108
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Мы используем полную упорядоченность смежных классов Ар, обладающую следующими свойствами:
если \р \ < \ q\, то Ap < Aq;
если I р I = I q I и р р,р2, q = qxq2, | р, | = | </, |, то из Лр2 < следует Л р < Л 9.
Такую упорядоченность легко построить индукцией по IpI с использованием аксиомы выбора. Во многих случаях аксиома выбора не нужна, например если группа G конечно порождена или если нас интересует упорядоченность некоторого семейства классов Ар, содержащего лишь конечное число классов Ap для любой заданной величины IpI.
Все рассуждения, связанные с сокращениями, которые нам будут нужны впоследствии, носят одинаковый характер, и мы докажем сейчас лемму технического характера, содержащую все эти рассуждения как частные случаи.
Лемма 11.1. Пусть O = (U1, аи и2, а3, ut, at), t^>\, где
ui — P7lniQi< \pt\ = \qt\, |A*|<1,
для каждого і, 1 ^ і < t,
а,- = Ви ¦¦¦ 8іпг gtj^hl/J, IA,yI = 1 или gif?A,
