Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
11. Свободные произведения с объединенной подгруппой
115
денную А* и всеми такими С* из <г?>. Покажем методом индукции, что Nn=Mn. Если п = 0, то из того, что H^0C)G* лежит в если только она не лежит в А*, получаем Al0 = AZ0. Для проведения шага индукции достаточно будет предположить, что если С*, как и выше, лежит в а С*ш~ в ?5, то до является произведением элементов и = kq, для которых I q | < | р |.
Для доказательства же последнего утверждения достаточно показать, что если |рдо|<:|р|, то до является произведением упомянутого вида. Итак, пусть |рдо|^|р|, где W = U1...«,, U1QlI. Доказательство предложения 11.4, в котором левое и правое меняются местами, показывает, что последовательность (U1, ..., ut) без изменения элемента w может быть преобразована в последовательность (a, V1, vs), где aQA и последовательность (U1, vs) удовлетворяет предположениям, зеркальным к тем, которые приведены в лемме 11.1. Пусть р' = ра и w'-=v1...vs. Тогда \p'w' | = |р|. Если мы сможем
показать, что v1 = hq, причем |<7|<]р|, то останется применить индукцию по s. Пусть V1 = kq. Тогда по утверждению (5) из леммы 11.1 в зеркальном виде получаем до' == q~1k'z, где k, k'QHy — A, V Ql. Кроме того, (4) из 11.1 дает | V11 ^ | w' |, откуда следует что о-1 составляет меньше половины слова до'. Теперь p'w' = pq~1k'z, и из условия |р'до'|^|/7| вытекает, что о-1 сокращается, a k' сливается. Однако тогда | р' | ^ | q~xk' | > | q\.
Докажем, наконец, IV. Нами уже показано, что N имеет представление N = (U*; Rl, Rl), где Rl состоит только из соотношений вида uv = w, верных в N, и, v, до все лежат в некотором С* Q із**, a Rl состоит из всех верных соотношений uv=w, где и, V, wQU*. Нам следует показать, что N имеет представление N = (V; T1), где T1 состоит из всех соотношений uv = w, а и, и, w лежат в некотором С* QS).
Имеем V = U*; выберем для каждого и QU*—V выражение и через порождающее множество V. Каждая группа С* Q %** сопряжена с некоторой группой С*2"' QS>; выберем такой z для каждой С*, рассматривая z как некоторое слово над V. Тогда каждый и QC* из %** — S) имеет вид U0 для некоторого и„ QС*г~' Q3). Выберем такое выражение « = «? для и через порождающее множество V. Для и из V запишем и = и, z= 1.
Если р: UU = W- соотношение в Rl, то и = ul, v = v%nw = w%, где г одно и то же, так что выраженное через порождающее множество V соотношение р приобретает вид р: U0V0 = до?. Однако
ЭТО СООТНОШеНИе ЯВЛЯеТСЯ Следствием СООТНОШеНИЯ U0V0-W0 из T1.
Пусть р: uw = v — соотношение из Rl. Выраженное через порождающее множество V, оно приобретает вид р: uz*wl' = vz0>; заметим, что, поскольку и и V сопряжены, ий и U0 лежат в одной и
116
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
той же группе С* Q S). Таким образом, р эквивалентно равенству вида р: u^ = vu, где и0 и U0 лежат в некотором С* = H^ П G* Q S). Пусть U0 = P-1Hp и U0 = p~xkp, h, A Q Яц—А.
Поскольку wQN, то по утверждению III имеем Oy = U1...vs для некоторых vtQV. Таким образом, произведение компонент в последовательности O = (Vf1, . . ., и,-1, и0, V1, . .., Vx, V0) равно 1 и, как мы видели в доказательстве предложения 11.4, сводится к 1 последовательным применением преобразований (а), (?), (у). Доказательство утверждения IV будет закончено, если мы покажем, что эти шаги правомерны при выполнении соотношений T1, т. е. что в каждом случае U1, ui+i лежат в одной и той же группе С* QS).
Нам понадобятся следующие четыре леммы о свободных произведениях с объединенной подгруппой.
Лемма 11.5. Пусть и = ир, v = k", H Q Яд — A, A QHV— А и uv QU. Тогда если \p\ = \q\, то и = Af, р = v и A1 Q H^ — А. Если
IpKIH т° ц^охр, Iq11>і, /2=6% oqa и и = ь«.
? Предположим, чтоIр|=|о|. Если АрФAq,Touv=p~1h(pq~1)kq и из uv Q U следует, что Ap = Aq. Таким образом, Ap = Aq, q = ap, aQA и U = Af для A1 = A0. Теперь uv = p~x (Hk1) р, и, так как элемент из U не может иметь четную положительную длину, часть Hk должна сократиться или слиться, так что р. = v.
Предположим теперь, что |р|< IH Если O = O1P не имеет места, то, как и выше, произведение uv можно привести, не затрагивая частей р-1 и о, и из uvQU следует о = о,р. Таким образом, Oe=O1P, Ic1I^l и uv = P-1ZiOf1Ao1P, откуда AOf1Ao1 QU. Поскольку элемент из U не может иметь четную положительную длину, H не может ни сократиться, ни остаться без изменения; таким образом, H сливается. Теперь из W = (Hq11) Ao1 Q U следует, что Aq^x'1=Aq1, q^h'1 = b~1q1 для некоторого»Q А,так moh = bq\ и и = НР=Ь"'Р = Ь". ?
Лемма 11.6. Если и = Ир, |А| = 1, a Q А и uaQU, то а = ЬР, bQA.
? Здесь приведенной формой для иа является иа = р-1/г(ра), и из uaQU следует, что Ap = Ара, откуда pa = bp для некоторого bQA и а = ЬР. ?
Лемма 11.7. Пусть и, и такие же, как и выше, и предположим, что |«"K|u|. Тогда либо uv QU, либо |о|<|р| и uv^hi>'
для p' = pv, |р'I < |р|.
? Если I р I = I о |, то, как и прежде, можно предполагать, что р = о, а из |«аК|н| можно вывести, что |AAK|A|, так что (J1 = V. Пусть |р|< I q |; как и раньше, отсюда получаем q ^q1P
//. Свободные произведения с объединенной подгруппой
