Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 7.13. Если q — минимальное строго квадратичное слово, то \v(q) равно [\q\IA\, целой части числа |</|/4.
? Рассматривая отображение, переводящее X2 в xfl, х4 в х^1, . . ., а при нечетном числе порождающих п последнее Xn в 1, легко убедиться, что Ir (q)^[n/2]. Для доказательства обратного допустим, что 1г(<7)=л—s; согласно предложению 6.15, имеется последовательность преобразований, связанная с q, которая переводит двій содержит s сингулярных преобразований. Тогда мы имеем последовательность q0=q, Чи . . ., ?«=1. в которой каждое qt строго квадратично и получается из </,_, последовательностью, связанной с </,•_! и содержащей одно сингулярное преобразование. Далее, до-
96
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
полнительное регулярное преобразование переводит qt в некоторое минимальное q't. Ясно, что І9ІІ^!9гІ, в то время как по предложению 7.11 l<7fl>l<7,--il—4, откуда l<?;l^l<?,--il— 4. Поэтому получаем 0=|^|>|<7о1—4s= 1^1—4s, т. е. \r(q)=n—s<«—]q\/4=n—n/2= =n/2. ?
Предложение 7.14. Пусть S — конечное минимальное строго квадратичное множество циклических слов. Тогда Ir (S) = [|S|/4[. ? Последовательностью регулярных преобразований, связанной с S, можно, используя предложение 7.6, привести S к виду 5 = = {xi, . . ., Хр, Xi . . . xpq) (также минимальному), в котором q — минимальное строго квадратичное слово относительно оставшихся базисных элементов хр+1, . . . , хп. Очевидно, что Ir(S) = Ir(^), и остается применить предложение 7.13. ?
Это предложение установлено Цишангом [19651; см. также Джа-ко [1972]. Аналогичный, но несколько более тонкий результат был получен Лантэном [1969] при изучении уравнений в свободных полугруппах; Пиолле [1975] получил формулу Лантэна для случая свободных групп, тем самым найдя более точный результат, чем предложение 7.14. См. также Шапиро и Зонн [1974].
8. Уравнения в свободных группах
Займемся теперь уравнениями в свободных группах, содержащими константы; примеры показывают, что описание всех решений требует введения параметров, пробегающих элементы свободной группы F, а также параметров, принимающих значения в множестве Z целых чисел. Для решения этой проблемы Линдон [1960] ввел понятие R-группы, где R — произвольное кольцо с единицей. А именно Я-группа — это группа G, снабженная действием кольца R, т. е. отображением GxR-+-G(b обозначениях (g, г)і—s-gr), подчиняющимся следующим требованиям: gl=g, gr+s=grgs, grs~ {grY, {g^hgY = =g-^hrg. Категорию /?-групп можно рассматривать как некоммутативный аналог категории і?-модулей. Понятие Z-группы, разумеется, сводится к понятию группы. Возможность возведения элемента группы в степень, равную действительному числу, известна из теории групп Ли. Ф. Холл [1968] в связи с мультипликативной формулой для элементов, представленных в виде произведения степеней в соответствии с собирательным процессом, предложил возможность возведения элементов в степени, равные элементам кольца R, более общего, чем Z, и содержащего для каждого г подходящий аналог биномиальных коэффициентов (?) для всех k Q Z. Группы такого рода изучались Каргаполовым, Ремесленниковым, Романовским, Po-маньковым и Чуркиным [1969], решившими проблему равенства и ряд других алгоритмических проблем для некоторых групп такого сорта.
8. Уравнения в свободных группах
97
Линдон рассмотрел только случай, когда R — кольцо всех многочленов с целыми коэффициентами от конечного множества переменных V1, . . ., vn. Из общих принципов универсальной алгебры следует, что существует свободная Я-группа (в обычном смысле универсальной алгебры) F* с данным базисом X1, . . ., хт, и легко заметить, что F* содержит обычную свободную группу F с тем же базисом. Полагая теперь V1Cp=^1, . . ., vny=kn, где ku . . ., kn?Z, a vb . . ., vn— переменные, мы получаем ретракцию <р кольца R на Z и индуцированную ретракцию ф' из F* на F. Линдон доказал следующее
Предложение 8.1. Пусть R, F* и F те же, что и выше. Предположим, что w — элемент группы F*, такой, что для любой ретракции ф кольца R на Z и индуцированной ретракции ц>' группы F* на F имеем &Уф' = 1. Тогда w=\. ?
Предложение 8.2. В тех же обозначениях проблема равенства слов в F* разрешима. ?
Линдон 11960] применил эти идеи к решению уравнений над свободными группами, содержащими произвольные константы, но лишь одно неизвестное. Пусть Ф — свободная группа с базисом I1, . . ., |п; рассмотрим W(I1, . . ., In) ^Ф. Предположим, что F — свободная группа с базисом X1, . . ., Хт и u2, . . ., Un—данные элементы группы F. Проблема состоит в определении всех x?F, таких, что, полагая Едф=х, %№=и2, ¦ ¦ ., \пу—и.п, мы получаем гомоморфизм ф: Ф-W7', такой, что доф= 1. Менее формально, если даны и2, . . ., Un ? F, то требуется найти все х G F, такие, что w(x, U2,... . . ., Un) = I. Параметрическим словом в этом контексте называется элемент свободной /^-группы F* с базисом X1, . . ., хт, где R содержит достаточное число переменных v;. Множество значений параметрического слова w — это множество элементов Шф' Є F для всех ретракций ф' группы F* на F, индуцированных ретракциями ф кольца R на Z. Линдон получил следующую теорему:
