Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 8.3. Пусть R, F*, F, w и иг, . . ., ип определены, как выше. Тогда существует конечное множество WsF* параметрических слов, таких, что множество всех значений элементов w ? W состоит в точности из тех х g F, для которых w(x,u2, ..., Un) = 1. ?
Лоренц [1963] обобщил этот результат на конечные системы уравнений с одним неизвестным, показав, что множество решений задается конечным множеством параметрических слов вида ab^cd^e, где ц и V — параметры. Он показал также [1963], что проблема существования решений алгоритмически разрешима, причем то же самое верно для систем с двумя неизвестными [1965]. Аппель [1968) показал, что множество решений одного уравнения с одним неизвестным задается конечным множеством слов вида ab^c с одним па-
4 »653
98
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
раметром ц, и Лоренц 11968] доказал то же самое для конечных систем уравнений с одним неизвестным. Аппель [1968] показал, что для трех или более переменных множество всех решений не обязательно задается конечным множеством параметрических слов. См. также Хмелевский [1966, 1967] и Асельдеров [1969].
В некотором смысле близкой проблемой является проблема подстановки. Снова пусть ю(|і, . . ., In) — элемент свободной группы Ф с базисом I1, . . ., In. Пустьg — произвольный элемент группы G. Можно спросить, существует ли гомоморфизм ф: такой, что
доф=?? Другими словами, имеет ли элементу ВИД/J = Ul(W1, . . ., Un) для некоторых элементов Ui, . . . ип группы G? Мы коснемся этого вопроса лишь в случае, когда G — свободная группа1). Если я=1, то проблема тривиальна, поскольку тогда w=\m для некоторого m(;Z, а проверка того, является ли g т-н степенью элемента свободной группы, достаточно шаблонна. Первый значимый результат был получен Уиксом [1962], рассматривавшим случай W= =[|i, IJ = If1I2-1Ii Ia- Он получил следующее решение.
Предложение 8.4. Элемент g свободной группы F является коммутатором тогда и только тогда, когда он сопряжен с циклически приведенным словом вида UVWW1V1W-1. ?
Недавно Уикс [1971, 1972] получил новые результаты в этом направлении.
Шупп [1969] доказал следующее
Предложение 8.5. Пусть w (|lt |2) — произвольный элемент свободной группы Ф с базисом |ь |2. Пусть F — свободная группа и g — произвольный элемент из F. Тогда разрешима проблема существования гомоморфизма ф из Ф в F, такого, что wq=g. ?
Частный случай предложения 6.8, состоящий в том, что произведение двух коммутаторов не обязано само быть коммутатором (замечено Бреннером, не опубликовано) легче получить из предложения 8.4. См. также Мальцев [1962], Эдмунде [1975] и Хмелевский [1971, 1972].
9. Абстрактные функции длины
Все, что было доказано до этого момента, основано на идеях Нильсена, в частности на простой, но исключительно важной идее подсчета количества сокращающихся букв при переходе к приведенной форме произведения двух приведенных слов свободной группы. Как мы увидим позже, вполне аналогичные идеи появляются и в других частях теории, особенно при изучении свободных про-
]) Неразрешимость аналогичной проблемы для произвольных элементов свободных нильпотентных групп ступени ^9 доказана В. А. Романьковым. Алгебра и логика, т. 16, 1977, № 4, с. 457—471.— Прим. перев,
' ' -'ЛЯП
9. Абстрактные функции длины 99
изведений, свободных произведений с объединенной подгруппой и расширений Хигмана — X. Нейман — Б. Неймана. Каждый, кто рисовал картинки для пояснения такого сорта доказательств, должен признать, что они носят существенно геометрический характер, хотя возникающая при этом геометрия — это простая геометрия отрезков прямой. Нет сомнений, что такая форма рассуждений имеет и дальнейшие приложения, в которых тот факт, что длины слов — целые числа (это существенно для доказательства по индукции), может не играть роли. Подход, эскиз которого предлагается читателю, возник из рассмотрения тесной аналогии между теорией сокращения в свободных /^-группах F* (описанных выше) и обычных свободных группах, а несколько сформулированных ниже результатов, относящихся к группам с функцией длины, принимающей действительные значения, показывают, что возможны и дальнейшие приложения. Прежде чем перейти к основной части, обсудим функции длины как для свободных групп, так и для свободных произведений.
В попытке аксиоматизировать рассуждения Нильсена Линдон [1963] выдвинул следующие аксиомы. Во-первых, имеется произвольная группа G и функция из G в N, множество натуральных чисел, которую мы запишем как g\—> |g|. Для удобства определим
d(g, Л) =-j{Ig)+ 1«1—IgA-1I}; эта величина — или целое, или полуцелое число, причем в случае обычной функции длины в свободной группе она обозначает длину наибольшего конца слова, общего у g и А. Сформулируем следующие аксиомы:
(Al) \х\>0 и |х| = 0«фх= 1;
(А2) I х-1| = |х|;
(A3) d(x, у) ^0;
(A4) из d (х, у) (х, г) следует d (у, г) = d (х, г);
(А5) из d(x, y)+d(x~l, у-1)^\х\ = \у\ следует х = у.
Очевидно, что эти аксиомы верны для обычной функции длины в свободной группе F относительно данного базиса X, а также для обычной функции длины в свободном произведении F=F1* ...*Fn относительно данного разложения. В свободном произведении имеются нетривиальные неархимедовы элементы х, т. е. такие, что U2KIxI (это элементы свободных сомножителей и сопряженные с ними). С другой стороны, в свободной группе выполняется следующая аксиома (см. предложение 2.15):
