Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда следует также, что h не сливается. Далее, из \п\ = \ вытекает, что мы не находимся в условиях (4), откуда, согласно (5), получаем u=zxq, w'=zxXiq для некоторых z, Z1 и х, X1 из одного и того же Hv—Л. Поскольку X не сливается в uav, то он не может слиться или сократиться в w'av. Это устанавливает доказываемый результат для случая Ap^-Aq.
Пусть теперь Aq<.Ap. По предположению (1) |у|^|иау|, так что в uav сокращается часть, не большая q. Если |А| = 1, то из (5) получаем w'^zjxq, откуда следует, что h не сокращается в w'av и, далее, что Ii сливается в w'av в том случае, когда h сливается в uav. Итак, все доказано в случае, когда \h\ = \. Пусть теперь /і=1. По (5) ы=з =z.v0, w'ssZiXiq для некоторых z, Z1 и некоторых х, X1 из одного и того же Ну,—Л. Теперь из \v\^\uav\ следует, что в uav нет ни слияний, ни сокращений подслова х, но отсюда следует, что в w'av
//. Свободные произведения с объединенной подгруппой
UI
нет ни слияний, ни сокращений подслова x1. Это завершает доказательство п. (4'), (5'), (6').
Чтобы доказать (7'), заметим, что, поскольку v сокращается или сливается в w'av не более, чем в wav, и \u\^.\uav\, то Ідо' ^\w'av\. Теперь w' =до,-_! п w'av=Wi, откуда ІДО/^І^ІДОіі. Поскольку по индукции Iu1I,..., !«,•.!Klffii,-.^, то и Iu1I,..., lUf.jKlajjl.
Остается показать, что |и;|^|до;|, т. е. что |а|^|до'аи|. Это, однако, следует из двух таких фактов. Во-первых, u=u,-_j, w'=wi_1, так что по индукции |«|^|до'|. Во-вторых, мы показали, что w' сокращается или сливается в w'av не больше, чем и в uav. Это завершает доказательство п. (7'), а значит, и индуктивное доказательство леммы 11.1. ?
Изучим теперь семейство # всех подгрупп #?, р,^/, р?С. Пусть U=U%, множество всех u=Hp , |/і|<Л, т. е. всех aG Л вместе cu=hP, |Л|==1. Покажем, что U является «древесным объединением» дерева, вершинами которого являются группы C^1S и группа А, в уточняемом позже смысле и что G получается из соответствующего древесного произведения добавлением соотношений сопряжения, имеющих вид uv=w, где U, V, W ? U.
Если С^%, то можно записать
C = Hp^0, P=Bh1... hm, m>0, h{ ZH111-A и ц,#|і/+ї для і ^.т— 1.
Положим C = Ap. Если рф\, то ЛЛ> = Яц,, откуда С s C = = НІ\ "я. Если р= 1, то C = H110, откуда C = A, и мы положим C = A. Проверка по длине показывает, что CC[C=C
Определим теперь граф Г с множеством вершин %{\ {А}. Если C=HP1, причем рф\, то введем ребро между С и С и припишем ему группу C=CП С. Для каждого C=H^0 мы введем ребро между С и Л и припишем ему группу A=C (}С=С Г\ А. Очевидно, что Г — дерево, которое можно ориентировать вверх от корня Л.
Утверждается, что U — теоретико-множественное древесное объединение семейства Cg^ и Л как множеств, т. е. что U получается из дизъюнктного объединения изоморфных экземпляров групп С и Л путем отождествления для каждой пары групп CwC подгрупп, соответствующих включениям группы ребра CbCh С. В более явном виде это выражено в следующем предложении.
Предложение 11.3. Пусть C1, C2 Є #11 \А\ и D = C1 Л C2-
точная нижняя грань групп C1 и C2 в смысле ориентированного дерева Г. Тогда C1OC2SD.
? Если C1 или C2 равна Л, то утверждение тривиально. Можно предполагать, следовательно, что C1 = #go, C2 = Н%а для P = H1... hm, q = kl ... kn, подчиняющихся ранее оговоренным условиям. Пред-
112
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
положим, что mZ^n, и будем рассуждать индукцией по т. Начальный случай т=0, п = 0 тривиален. Случай C1 = C2 также тривиален, так что можно предполагать C1Ф C2. Пусть g Q C1 П C2. Тогда g = hP для некоторого hQH^ и аналогично g = kq, k Q HVo. Если h (? Л, то g = /iP — запись в нормальной форме; но элемент g= ? C2 не может иметь такую нормальную форму, в которой последовательные множители лежат в H11, расположенных в этом порядке. Таким образом, h Q А и g QC11= C1. Мы показали, следовательно, что C1DC2SC1DC2. Очевидно, C(DC2 = D. Теперь по предположению индукции C1DC2SD, откуда и получается C1DC2SD. ?
Покажем теперь, что G получается из древесного произведения G дерева Г наложением всех справедливых соотношений вида uv=w, где и, V, w Q U. Прежде всего, древесное произведение G порождается древесным объединением U дерева Г и получается наложением на U всех соотношений, определяющих групповую структуру в группах-вершинах, т. е. всех верных соотношений UV=W, где U, V, W— элементы из некоторого CQ^. Пусть R1 — множество таких соотношений; тогда G имеет представление G=(U; R1). Обозначим через R2 множество всех верных соотношений uv=w, где U, V, WQU. Тогда наше утверждение принимает форму
Предложение 11.4. G=(U; R1, R2).
? Это утверждение будет следовать из такого факта. Пусть о= (U1, U2,.. ., ut), t~^\, Ut Q U. Тогда W=U1.. .U1 равно 1 только тогда, когда ст можно привести к тривиальному виду O0=(I) последовательными преобразованиями, заменяющими некоторую часть щ, ui+1 одной из следующих:
a: U1U1+1, если U1U1+1QU;
?: ы;+11 u?<4 где |u?'+i|<|u/|; у: и«Г\ U1, где |и?||<|и/+1|.
Можно предполагать, что ни t, ни У|иг| не уменьшается применением такого сорта преобразований. Можно предполагать также, что лексикографический ранг последовательности |о| = (Iu1,.. .,Iu4I) не может быть увеличен. Если U1QA, i<C.t, то преобразование (у) не изменяет ни t, ни и не уменьшает |сг]. Таким образом, можно считать, что все ut Q А перешли в конец последовательности ст, а ввиду (а) и минимальности t, что такой сомножитель не более чем один, т. е. что U,^ А для i<J. После присоединения тривиального сомножителя в конце, если нужно, и возможной переиндексации, мы можем восстановить единообразное обозначение, предполагая, что ст=(иь.. ., U/) удовлетворяет всем предыдущим предположениям и, кроме того, U1 ? А для I %i </, а щ Q А. Проверим, что о удовлетво-
