Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
В О и ТаКОЙ, что Произведение ф(Єі) . . . ф(Є() Приведено и ф(Єі) .
... ф(е,)=Сі ... Cn.
(iii) Если D — произвольная область из M и ег ... es — произвольный граничный цикл этой области, то ф (?j) ... ф (ej) — циклически приведенная перестановка некоторого C1.
Теорема 1.1. Если F—свободная группа, то для произвольной последовательности C1, . .., сп, п^О, нетривиальных элементов из F существует диаграмма М(си .,., Cn), удовлетворяющая условиям (і) — (Ш).
1. Диаграммы
319
rj Каждый элемент с свободной группы может единственным образом быть записан в виде иги~1, где ити~х приведено, а г циклически приведено. Запишем таким образом каждый Ci=UIr1Uj1. Доказательство проводится индукцией по п. Если п=0, то берем в качестве M одну вершину О.
Если /г=1, Ci=«/"u_l, то возьмем вершину U1 и петлю е в точке Vt с меткой г. Если и= 1, то положим O=Vi и M построена. Если M=T^l1 то добавим вершину О вне петли е и дугу из О в V1C меткой ц.
Рис. 1.1. Первый этап построения в случае я>1.
Для /С>1 поступим следующим образом. В качестве диаграммы M' возьмем диаграммы M1, ..., Mn, построенные для каждого сомножителя а, ..., сп, расположив их по порядку вокруг общей базисной точки О.
Если произведение {U1T1Uj1) ... (UnTnUn1) приведено, то M' удовлетворяет условиям (i) — (Ui) и является искомой диаграммой. Предположим, что M' не удовлетворяет условию (ii), т. е. произведение НЄ ЯВЛЯеТСЯ Приведенным. ЕСЛИ ребро Є Имеет Метку S=X1 ...
... Xj (каждое X1 — порождающий или обратный к нему), то е можно разделить на части еи eJt сопоставив каждому et метку xt. Это позволяет считать, что каждое ребро обладает меткой, являющейся порождающим или обратным к нему.
Идея состоит в отождествлении последовательных ребер, метки которых взаимно обратны. Пусть а — граничный цикл диаграммы M', начинающийся в О. Тогда ц>(а)=а ... Cn. По предположению а содержит два последовательных ребра е и /, таких, что элементы ср (е) и ср(/) взаимно обратны. Пусть Vi и v2, V2 и V3 — соответственно начала и концы ребер е, f. Предположим, что V1 не совпадает ни с V2, ни с U3. Перегибом вокруг V2 приклеим е к / (не важно, совпадают V2 и V3 или нет). Никаких других изменений в M' не вносим (рис. 1.2).
В полученной диаграмме М" граница дМ" содержит меньше ребер, чем а. Если V3 отлично от V1 и V2, можно действовать дальше точно так же.
Допустим теперь, что V1=V3. В этом случае замкнутые ребра е и / образуют петлю б с вершиной V1. Образуем М" вычеркиванием
320
Гл. V. Теория малых сокращений
дуги б—Vi и той части диаграммы M', которая лежит внутри б. Снова число ребер в дМ" меньше числа ребер в а. В обоих случаях М" удовлетворяет условиям (І) и (iii). Повторением этого процесса
Рис. 1.2.
в конце концов приходим к диаграмме M со свойствами (i) — (iii,. Таким образом, M — искомая диаграмма. ?
Иллюстрируем построение из теоремы 1.1 для последовательности ca2bc~l, cb~lc~xac~x, ca~1ci.
Рис. 1.3.
Даже этот простой пример показывает, что сокращение — двумерный процесс. Область, соответствующая элементу Ь~1с~1а, не имеет ребер на границе полученной в конце концов диаграммы.
В следующей лемме дается обращение теоремы 1.1.
Лемма 1.2. (Лемма о нормальной подгруппе.) Пусть M — связная односвязная диаграмма с областями D1, Dn,. Допустим, что а — граничный цикл для М, начинающийся в вершине v0?dM, и пусть w=<p(a). Тогда существуют метки rt областей Dt и элементы Ui из F, 1^/«Ол, такие, что
W = (Us1UT1) ...{uarau?).
/. Диаграммы
321
(Кроме того, элементы U1 удовлетворяют ограничениям на длину, сформулированным в замечании, следующим за доказательством настоящей леммы.)
Q Индукция по т. Если т=0, то доказывать нечего, однако заметим, что в этом случае M — дерево, и поэтому ф(а) = 1. Предпо-
¦У
Рис. 1.4.
ложим теперь, что теорема верна для карт с k областями, и допустим, что M — карта с k+l областями.
На карте M обязательно должна быть область D, такая, что dDftdM содержит ребро. Построим новую карту M', выбрасывая из M ребро е из dD[)dM. Карта M' по-прежнему связна и одно-связна. (См. рис. 1.4.)
Запишем a = ?ey. Существует граничный цикл ец области D, начинающийся ребром е. Пусть ф ф)=Ь, ц> (e)=z, ф (у)=с и ф {r\) = d. Тогда w = (p(a)=bzc. Граничный цикл и. карты M', начинающийся в V0, равен Pt]-1Y, откуда ф ((X) = M-1C
По предположению индукции области карты M' (т. е. области карты М, отличные от D) можно занумеровать так, что bd~lc = = [U1T1U1 ~1) ... (u/kUi1), где г і — метка области D,-, І^г^й. Теперь w = bzc = (bd~1c)(c~1dzc) и dz —метка для D. Взяв D в качестве Dk+l, dz в качестве rk+1 и с-1 в качестве uk+l, получаем утверждение леммы. ?
ft
Замечание. Пусть Км = 21Ф (fy) |» гДе суммирование произво-
Дится по всем ориентированным ребрам карты М. Заметим, что мы сопрягаем лишь элементами, являющимися метками частей 'карты M'. Кроме того, Км'<Км. Следовательно, \и,-\^тКм> і === 1, .... т.
Подмножество R свободной группы F называется симметрированным, если все элементы из R циклически приведены и из r E R следует, что все циклические перестановки элементов r±l также лежат в R.
