Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, нам нужно беспокоиться только о редукциях относительно проходных букв, имеющих вид txztxl, где z?G. Запишем
г=8 •..8?»
где е,- = ±1 и нет последовательных вхождений взаимно обратных элементов gw, gu1. Заметим, что при свободном приведении-этого произведения вхождения подслов (cv W dfi в geJ остаются
несокращенными. Из определения функции у следует также, что если W = Uk, то
Y (го) sa v(A-) (mod 10).
Далее, подгруппа Cx, связанная с tx, свободно порожден элементами h, а, Ь, с10, ё10 и су lk)det А>. Если г Є Cx, то г можн записать в виде
z = yiCn'y2...ykcnkyk+i,
где у; — слова от h, а, Ъ и d, причем для 1 < t <&+1 слова у{ непусты. Из вида порождающих для Cx ясно, что каждое nt конгруэнтно по модулю 10 одному из чисел
0, ± ?(*)•
Заметим, что если ?—буква, отличная от Я, то ±v(?) не конгруэнтно по модулю 10 ни одному из приведенных выше чисел. Кроме того, в элементах из Cx нет вхождений подслова hd. Следовательно, г лежит в Cx только в том случае, когда для. каждого кодового слова gw , входящего в представление слова г в виде произведения, W1 оканчивается на букву к. Однако тогда, в силу (**) txztxx снова является произведением кодовых слов,1 Это завершает доказательство теоремы. P
ft* "--««И
8. Алгебраически замкнутые группы 30?
8. Алгебраически замкнутые группы
Мы завершим эту главу одной темой, благодаря которой недавно появилось несколько замечательных теорем. Пусть G — некоторая группа. Символом W (xj, gh) будем обозначать некоторое слово от переменных Xj и элементов gh Q G.
Конечное множество уравнений
W1(Xj, Ы = 1 (*'=!.....т)
и соотношений
Vt {X,, ёк)Ф1 (l=h ...,«)
называется совместимым с G, если существует группа Я и вложение ср: G —>~ Н, такое, что система
W1(Xj, Фу=1 (і= 1, т), Vc(Xj, ф (ff*)) ^=i (z = i.....п)
имеет решение в Я.
Группа А называется алгебраически замкнутой, если каждое конечное множество уравнений и указанного типа соотношений, совместимое с А, имеет решение уже в А. Понятие алгебраически замкнутой группы введено У. Скоттом [1951], которым была доказана
Теорема 8.1. Каждая счетная группа С может быть вложена в алгебраически замкнутую группу А.
? Первый шаг состоит во вложении группы С в группу С*, в которой каждое совместимое конечное множество уравнений и соотношений указанного вида с коэффициентами из С имеет решение. Число конечных систем уравнений и соотношений указанного вида с коэффициентами из С счетно. Фиксируем некоторую нумерацию Si, S2, ... этих систем. Пусть C0=C. Допустим, что C{.t уже определена и содержит С. Тогда Ct определяется следующим образом. Если 5,- не совместима с C1-1, то полагаем Cj=C1-1. Если Si имеет решение в некотором расширении Я группы C^1, определим Cj как подгруппу группы Я, порожденную вложенной группой cpi(C,-_j) и элементами hi, . .., ht группы Я, подстановка которых вместо переменных X1 решает систему Sj. Отождествим C;._i с ее образом в C1. Заметим, что C1 счетна. Пусть
OD
с* = 1К
?=1
Определим теперь новую возрастающую цепь групп следующим образом. Пусть A0=C*. Допустим по индукции, что At уже опре«
308
Гл. /V. Свободные произведения и HNN-расширения
делены. Как и в предыдущем абзаце, построим счетную групп Ai+i, содержащую At и такую, что любая конечная система уравнений и соотношений указанного в определении совместимости вида с коэффициентами из A1, которая совместима с Ai+i, имеет решение в Л,+і. Тогда группа
OO
A = VA1
<=1
алгебраически замкнута. Легко понять, что слово «счетная» в фор мулировке теоремы может быть заменено на «имеющая мощность не более Кх» без изменения существа доказательства. ?
Вскоре после появления статьи Скотта Б. Нейман [1952] показал, что алгебраически замкнутые группы просты. Позже он заметил, что алгебраически замкнутая группа не может быть конечно порожденной [1973].
Теорема 8.2. Каждая алгебраически замкнутая группа проста. Алгебраически замкнутая группа не может быть конечно порожденной.
? Пусть А — алгебраически замкнутая группа. Допустим, что шф\ и аф\ —произвольная пара нетривиальных элементов из А. В свободном произведении А*(х) элементы WXW1X-* и OXW-1X-1 имеют бесконечные порядки. Это позволяет рассмотреть HNN-расширение
<Л*<дс>, t; /сшгг1*-1/-1 = axw~1x-ly.
Рассмотрим tux как переменные. Поскольку уравнение
twxw~x x^t-1 = axw^x-1
имеет решение в некотором расширении группы Л и Л алгебраически замкнута, существует решение и в Л. Разрешая оба уравнения относительно а, мы видим, что а лежит в нормальном замыкании элемента w. В силу того что элементы а и w произвольные нетривиальные, получаем, что Л проста.
Пусть 1фа? А. Поскольку соотношение ахфха имеет решение в некотором расширении группы Л (скажем, в Л* Oc)), центр группы Л тривиален. С другой стороны, покажем, что каждая конечно порожденная подгруппа группы Л имеет нетривиальный централизатор. Пусть {аи ..., йп} — конечное подмножество из Л. Множество уравнений и соотношений
а^у^уа,, апу = уап, уф\
имеет решение в Ax (у). Так как Л алгебраически замкнута, имеется решение и в Л.
