Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
4. Алгоритм Дэна и лемма Гриндлингера
331
сильный результат, полученный Гриндлингером в 1960 году й известный теперь как лемма Гриндлингера. При нашем подходе лемма Гриндлингера получится как следствие усиленного варианта формулы кривизны (теорема 4.3).
Лемма 4.1. Пусть M—односвязная карта типа (q, р), где (q, р) — это одна из пар (3,6), (4,4), (6,3). Допустим, что для каждой области D карты М, такой, что dD не содержит ребра из дМ, верно d (D)^p. Тогда граница произвольной области карты M — простая замкнутая кривая.
? Рассмотрим область D карты M и предположим, что в dD имеется петля т], причем т) не совпадает с dD. Тогда петля и вся часть карты М, внутренняя по отношению к т), образуют односвязную подкарту К карты М. Среди всех таких петель rj из dD выберем такую, для которой число областей карты К минимально.
Поскольку при выборе петли rj требовалась минимальность числа областей, в X]OdM имеется самое большее одна вершина v0. Исключая V0, все вершины карты К внутренние для M и их степень не менее о. Поскольку т) не содержит никакого ребра из границы карты М, ни одна область из К не содержит ни одного граничного ребра этой карты. Согласно предположениям относительно М, отсюда следует, что все области карты К имеют степень не менее р. Поэтому К является [q, р]-картой. Если бы К имела только одну вершину, то она состояла бы из одной или более областей, ограниченных петлями в точке V0, что противоречит предположению о том, что M есть (q, /?)-карта. Это позволяет нам теперь предположить, что в К имеется более одной вершины.
В этом случае по следствию 3.3 2^^+2—d(v)\^q. Однако, поскольку лишь V0 может дать положительный вклад в эту сумму, 2лІ9/р+2—d(v)]<Cq/p+2<q, чего не может быть. ?
Пусть M — произвольная карта. Экстремальным кругомкарты M называется подкарта К карты М, которая топологически является кругом и обладает граничным циклом еи ..., е„, таким, что ребра
е,.....еп встречаются в том же порядке в некотором граничном
цикле всей карты М.
Лемма 4.2. Пусть M — связная односвязная карта, не имеющая вершин степени 1. Если граница для M не является простой замкнутой кривой, то M обладает по меньшей мере двумя экстремальными кругами.
? Проведем доказательство индукцией по числу т областей карты М. Если «1 = 1, то M — это простой замкнутый путь. Предположим теперь, что т>\, и рассмотрим произвольный граничный цикл O=C1 ... еп карты М. Пусть a=eit ... eik — кратчайший замкнутый подпуть пути б. Поскольку M не содержит ни одной вершины
332
Гл. V. Теория малых сокращений
степени 1, в а нет последовательных ребер вида е, е*1. Таким образом, а — простой замкнутый путь, ограничивающий некоторый экстремальный круг карты М. Пусть J' — подкарта карты M1 ограниченная циклом б — а. Поскольку J' может иметь вершины степени 1, удалим по одной все эти вершины и содержащие их ребра. С помощью этого процесса мы получаем подкарту J карты М, к которой применимо предположение индукции. Если 6У — простая замкнутая кривая, то J — экстремальный круг карты М. Если dJ не является простой замкнутой кривой, то / содержит два экстремальных круга и по меньшей мере один из них экстремален вМ. G
Пусть D — область карты М. Будем говорить, что dD Г\дМ — последовательная часть карты М, если dD Г\дМ — объединение
последовательности в\.....еп замкнутых ребер и ребра еи еп
встречаются в данном порядке в некотором граничном цикле для D и некотором граничном цикле для М,
Если M — карта, то 2У/?/<7+2—1(D)] означает суммирование только по тем граничным областям D карты M, для которых dDf\dM—последовательная часть границы дМ. Если l/p+l/</ = l/Jj то p/q+2=p/2+X. Оба эти равенства будут использоваться в наш* вычислениях.
Теорема 4.3. Пусть M—связная односвязная (q, р)-карг, Предположим, что M не содержит вершин степени 1 и что в имеется более одной области. Допустим, что для любой области из M либо d (D)^p, либо dDf\dM содержит ребро. Тогда
? Докажем сначала теорему для таких карт М, для которых дМ простой замкнутый путь. Доказательство будем вести индукцие по числу т областей карты М.
Предположим, чтот=2. Единственная возможность заключаете в том, что M состоит из двух областей D1HD2, имеющих единстве^ ное общее ребро. Поэтому і(Dj) = \, /=1,2, и теорема справедлива.
Предположим теперь справедливость теоремы для всех карт, удовлетворяющих предположениям теоремы и имеющих t областей, 2<г.
Поскольку единственные области карты Med (D)<Lp — эт<) области D, для которых dD f\dM содержит некоторое ребро, только! эти области дают положительный вклад в сумму t*M[p/2+X—i(D)]| Из следствия 3.4 вытекает, что
2м[р/2+X-I(D)]^p.
Следовательно, если все области D карты М, такие, что dD Г\дМ содержит некоторое ребро, обладают тем свойством, что dDf\dM —
4. Алгоритм Дэна и лемма Гриндлингера
333
последовательная часть границы дМ, то
й все в порядке.
Предположим теперь, что в M имеется область ?, такая, что дЕГ\дМ содержит ребро, но не является последовательной частью границы дМ. Тогда M-E имеет по крайней мере две компоненты, скажем C1 и C2, каждая из которых содержит некоторую область. Пусть M1 = C1(JE и M2 = C1[JE.
