Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть ? — произвольная группа с множеством порождающих XsXк, в которой выполнены все уравнения и соотношения из 2?. Возможное соответствие hj>—>tj не может определять изоморфизм
314
/"л. IV. Свободные произведения и НЫЫ-расширения
т H в В, поскольку оно некорректно на элементе »(A1-.....hn)t
где выбор V предложен выше.
Используя индукцию, можно считать, что множества 2fe определены для всех k^iO. Положим
СО
k-l
Пусть А — группа с порождающим множеством X= {хі, х2, ...} и множеством определяющих соотношений, состоящим из всех уравнений W=I из 2. Утверждается, что все уравнения и соотношения одновременно удовлетворяются в А. Это ясно для уравнений, поскольку они являются определяющими соотношениями. Предположим теперь, что соотношение иф\ находится в 2, а из определяющих соотношений для А вытекает соотношение и=\. Тогда и=\ выводится из конечного числа соотношений, скажем wx=\, ... ,. ., wm=l. Выберем индекс k столь большим, чтобы все уравнения Wj=I, /=1, ..., т, и соотношение иф\ лежали в 2Й. Получим противоречие с тем, что 2ft совместно.
Поскольку все соотношения из 2 выполняются в А, группа А по построению алгебраически замкнута и никакая ее подгруппа не изоморфна группе Н. Тем самым доказательство закончено. ?
Первоначальное доказательство Макинтайра использует некоторые понятия математической логики и работает в весьма общей постановке. Действительно, читатель, вероятно, заметил, что многие из приведенных рассуждений по характеру своему относятся к области универсальной алгебры и практически не используют то, что мы работаем с группами. Обратим внимание, в частности, на случай полугрупп с единицей. В этом случае конечная система уравнений и соотношений приобретает вид
^/(S/. Uj) = V1[S,, yj), '' = 1. •••» п, Wk{Sj, y/)?=Zk(Sj, у;), k=\, .... т,
так как перенос из одной части в другую невозможен. Поскольку мы работаем в многообразии полугрупп с 1, можно предполагать, что все гомоморфизмы переводят 1 в 1. Этот раздел был написан таким образом, что не только формулировки всех теорем, но, за одним исключением, и все доказательства остаются справедливыми, если заменить слово «группа» на слова «полугруппа с 1». Исключением является доказательство теоремы о том, что алгебраически замкнутая полугруппа с 1 является простой. Это было установлено Б. Нейманом [1973], но приводимое нами ниже доказательство взято из работы Буна и Хигмана [1974].
? Пусть А —алгебраически замкнутая полугруппа с 1. Пусть и uv — произвольная пара неравных элементов и w — произвольный
8. Алгебраически замкнутые группы
315
эЛемент из А. Увеличим А добавлением новых порождающих Q d и b и определяющих соотношений
cvd=b, cud=l, bw=b. \{t представляет труда проверить, что А вкладывается в новую полугруппу. Следовательно, если рассматривать Ь, с, d как переменные, то записанные с их помощью уравнения имеют решение в А. Однако при наложении условия u=v получаем w=l. Поскольку и, V, w произвольны, отсюда следует простота полугруппы А. ?
Дальнейшие результаты об алгебраически замкнутых группах можно найти в работе Макинтайра [1972]. Изучение алгебраически замкнутых структур в настоящее время — активная область исследований.
Глава V ТЕОРИЯ МАЛЫХ СОКРАЩЕНИЙ
1. Диаграммы
В 1911 году Дэн поставил проблемы равенства слов и сопряжа ности для произвольных групп и одновременно предъявил алгоритмы, решающие эти проблемы для фундаментальных групп замк нутых ориентируемых двумерных многообразий. Решающим свойст вом этих групп является то, что (за тривиальными исключениями они определены одним определяющим соотношением т с тем свойс вом, что если s — циклическая перестановка элемента г или г такая, что s7^r-1, то сокращение в произведении rs является весь: незначительным. Алгоритмы Дэна были распространены на о> ширные классы групп, обладающих представлениями, в которы: определяющие соотношения удовлетворяют аналогичному треї ванию малого сокращения. Вначале исследования сосредоточив; лись вокруг решения проблемы равенства слов для групп G, пре, ставленных в виде факторгрупп с малым сокращением некоторы; свободных групп F. Затем теория была расширена на случай] когда F — свободное произведение, свободное произведение с об единенной подгруппой или HNN-расширение. Более того, получен сильные результаты алгебраического характера, например, удалое] классифицировать периодические элементы и взаимно коммутирующие элементы в факторгруппах с малым сокращением.
Дэн использовал геометрические методы, основанные на применении регулярных мозаик на гиперболической плоскости. Распространение его результатов на более широкие классы групп шло вначале по линии применения рассуждений из комбинаторной теории групп, связанных с учетом сокращений, без привлечения геометрии. Геометрический характер рассуждений Дэна был восстановлен позже, на этот раз в рамках элементарной комбинаторной геометрии. В настоящее время теория малых сокращений предстает как унифицированная и мощная теория. Цель настоящей главы — развитие центральных идей этой теории и демонстрация некоторых важных и типичных результатов.
