Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
? Пусть w=Ci ... сп, где Ci, Cn—минимальная Р-последо-вательность и M — диаграмма для C1, сп. Предположим, что M не приведена. Используя обозначения из данного выше опреде-ления, допустим сначала, что имеются различные области D1 и D2 из-за которых диаграмма M оказывается неприведенной. Вычеркнув е, объединим D1 и D2 в одну область D с граничной меткой 1, Обозначим полученную диаграмму через M'. Поскольку D1 и D2 были различными, M' продолжает оставаться связной и односвяз-ной. Однако M' имеет ту же граничную метку w, что и М, но на одну область меньше. По лемме о нормальной подгруппе (лемма 1.2) w является произведением сопряженных меток областей из M'. Все области из M', за исключением D, помечены элементами из R. Метка на D равна 1 и может быть вычеркнута из произведения. Следовательно, w равно произведению qx ... qn_2 сопряженных с элементами из R, что противоречит минимальности исходной последовательности Ci, с„.
Осталось рассмотреть случай, когда два граничных цикла 6j и S2 одной и той же области D делают M неприведенной. Это означает, что две циклические перестановки одного и того же элемента свободной группы взаимно, обратны. В свободной группе такого быть не может. ?
Пусть M — некоторая карта. Граничной вершиной или граничным ребром мы будем называть вершину или ребро из дМ. Гранич-ной областью карты M называется такая область D из М, что dD П дМфф. Таким образом, если D — граничная область карты М, то dDf\dM не обязано содержать некоторое ребро, но может состоять из одной или более вершин. Вершина, ребро или область карты М, не являющиеся граничными, называются внутренними.
Если V — вершина карты М, то d(v) — степень вершины v — есть число ориентированных ребер с начальной вершиной v. Таким образом, если оба конца некоторого ребра е совпадают с v, мы считаем е дважды. Если D —область из М, то d(D) — степень области D — есть число ребер в граничном цикле для D. Символ і (D) обозначает число внутренних ребер из D, причем снова ребро, встречающееся в граничном цикле для D дважды, считается два раза.
Из построения следует, что большинство рассматриваемых нами диаграмм не имеет внутренних вершин степени 1. Предположим, что в некоторой Р-диаграмме имеется два внутренних ребра Ci и с2, встречающихся в одной вершине степени 2. Тогда вершина v может быть вычеркнута, а ребра C1 и е2 объединены в одно ребро е с меткой ср(C)=Cp(P1)Cp (с,). Таким образом, мы можем предпола-
3. Основные формулы
325
raTb, если угодно, что если M есть /^-диаграмма, то все ее внутренне вершины имеют степень как минимум 3.
Лемма 2.2. Пусть R — симметризованное множество элементов свободной группы F и M — приведенная R-диаграмма.
(1) Если R удовлетворяет условию С (k), то каждая область D и3 М, такая, что dD Л дМ не содержит ребер, имеет степень
(2) Если R удовлетворяет T (т), то каждая внутренняя вершина V карты M имеет степень d(v)^m.
Q Покажем сначала, что если е — внутреннее ребро для М, то метка с = ф(е) является куском. Поскольку е — внутреннее ребро, е лежит на общей границе областей D1 и D2 карты М. Значит, D1 и D3 имеют метки г j и г2 в R, такие, что гх = са и г2=с~1Ь. Поскольку R симметризовано, cb-l?R. Из приведенности диаграммы M следует, что афЬ'1. Таким образом, с — кусок по определению. Если D —область из M и все ребра из dD внутренние, скажем (9D = C1 ... еаф), где ф(с,-)=с(-, то меткой для D является г = с, ... cdiD)?R и г— произведение d(D) кусков. Поэтому из С(k) следует, что d(D)^k для всех областей из М, таких, что dDf\dM не содержит ребра. Это показывает, в частности, что любая внутренняя область карты M имеет степень как минимум k.
Предположим теперь, что V—внутренняя вершина степени h и C1, сл — взятые по порядку ориентированные ребра, проходящие через v. Тогда для каждого і (по модулю К) с,-+1 и cf1 — последовательные ребра на границе некоторой области D1 карты М. Существуют пути а,-, такие, что граница для D1 есть цикл с вершиной V вида 671Oc1-Cf+1. Если /,• —метка на et, а а,. —метка на а,-,
ТО D1 Имеет Метку Г,- =/7^/// + 1-
Поскольку M приведена, никакое rt не равно гт+\, и так как каждый элемент /,- отличен от 1, в каждом из произведений ггг2, ¦¦ -. rh-irh, гнг\ имеется сокращение, так что Т(т) нарушается для ni>h. Таким образом, из условия T(т) следует, что d(v)^m для любой внутренней вершины V карты М. ?
Геометрическая интерпретация предположений о малом сокращении показывает, что нам следует заняться изучением карт, в которых степени вершин и областей удовлетворяют некоторым ,неравенствам.
3. Основные формулы
Результаты о картах, полученные в настоящем разделе, являются комбинаторными обобщениями свойств регулярных мозаик на плоскости и в настоящем варианте принадлежат Линдону 11966];.
326 Гл. V. Теория малых сокращений
сходные результаты в других контекстах были использованы Бла-ном [1940, 1941] и Фиалой [1946]. Имеется лишь три регулярных мозаики на плоскости — треугольники, квадраты и шестиугольники. Типы более общих карт, которые будут рассмотрены нами, распадаются на три соответствующих класса.
