Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Пример 8. В условиях примера 7 найти математическое ожидание и среднее к вад рати чес кое отклонение прибыли при W= 1000, р = 0Д А' =100 тыс. ден. ед. и г = 30 %.
204 Гпава 11. Случайные величины
Решение. Ставка ссудного процента удовлетворяет условию, чтобы математическое ожидание прибыли было положительным: 30 > 100 (t -- 0,8)/0,8. Математическое ожидание прибыли
Kf(Il) = Sn (ф/100 - q) = 100- 1000(30¦0,6/10O - 0,2) = = 4 млн ден. ед.
Среднее квадратическое отклонение прибыли
о(Х) = JD(X) = (1 + r/\00)Sjnpq =1,3- 100 ^1000 ¦ QS ¦ 02 = = 1644.38 тыс. ден. ед.
11,2.4. Коэффициент корреляции
Определение 9. Коэффициентом корреляции, или корреляционный моментом, случайных величин JV и У (или конариацией) называется математическое ожидание произведений их отклонений
-Cov(A', Y)=M{\X-M(X)WY -M(Y)\). U1-21)
Корреляционный момент служит для описания связи между случайными величинами Xn К. Из свойств математического ожидания легко убедиться в том, что м,ч можно записать в следующем виде:
u., = M(XY)-M(X)M(Y). (11,22)
Для непосредственного вычисления используется формула
Мд, =І І^У,Pи-^(X)M(Y). (11.23)
Из формулы (11.22) следует, что корреляционный момент двух независимых случайных величин равен нулю. Если корреляционный момент uiV не равен нулю, то величины X и Y являются зависимыми.
Определение 10. Коэффициентом корреляции случайных величин X и У называется отношение их корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:
^ =ц J(oTa,) = u.w/Vo(.V) D(Y). (11.24)
Коэффициент корреляции является безразмерным и не зависит от выбора системы измерсніся случайных величин, а его абсолютная величина не превосходит единицы:
|rj Sl или -l<rtv<T. (11.25)
11.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин 205
Определение 11. Две случайные величины X и Умазывается коррелированными, если их корреляционный момент (коэффициент корреляции) отличен от нуля; если же их корреляционный момент равен нулю, то Л'и )'называются некоррелированными.
Таким образом, две коррелированные случайные величины (т. е. при rXIJ * 0) являются также и зависимыми. Обратное утверждение неверно, т. е. две зависимые величины могут быть как коррелированными, так и некоррелированными,
11.2.5, Линейная регрессия
Пусть (X, Y) — двумерная случайная величина, где Xи Y- зависимые случайные величины. Оказывается возможным приближенное представление величины Y в виде линейной функции величины X:
Y *g(x) = aXi Ь, (11.26)
где а и b — параметры, подлежащие определению. Обычно эти величины определяются с помощью метода наименьших квадратов (см. 8,5.3). Функцию g(x) называют среднеквадратической регрессией Y на X.
Теорема 11.1. Линейная средняя квадрати чес кая регрессия Y на X имеет вид
g(X) = mv + г„^-(Х-т,У (11.27)
где гч определяется формулой (11.24), = JW (Y) и m, = M (X) — математические ожидания, соответственно, случайных величин Yh X.
Коэффициент b = rnj G9JGy называют коэффициентом регрессии Y па Лг, а прямую, реализующую линейную зависимость (11.27) случайной величины Y от случайной величины X,
V-m. Ct-m). (П.28)
- прямой среднеквадратической регрессии Y на X. Поскольку зависимость (11.27) является приближенной, то существует погрешность этого приближения, называемая остаточной дисперсией:
є' =^(1-^). (11.29)
Для оценки среднеквадратичной погрешности линейной регрессии обычно используют величину ?.
206 Глава 11. Случайные величины
11.3. Непрерывные случайные величины
11.3.1. Функция и плотность распределения вероятности
ПустьX — непрерывная случайная величина (см. определение 3), значения которой сплошь заполняют интервал (а, Ь).
Определение 12. Функцией распределения случайной величины X называется функция F(T)1 определяющая вероятность того, что X примет значение, меньшее д:
F(x)=P(X<x). (11.30)
Функция распределения обладает рядом фундаментальных свойств:
1. Область значений функции распределения лежит на отрезке [0,1]:
0aF(t)A 1. (1131)
2. Функция распределения является неубывающей, т. с.
F(X31)>F(X1) при хг>ху (11.32)
3. Если возможные значения случайной величины находятся на интервале (а, Ь), то F(л:) = 0 при х<а и F(x) = 1 при х>Ь.
Из указанных свойств вытекают важные следствия: 1- Вероятность того, что случайная величина X принимает значения, заключенные внутри интервала (а. [}), равна разности значений функции распределения на концах этого интервала:
Р(а < X <[1) = F(P)-F(Ct). (11.33)
2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина ,Y примет одно определенное значение, равна нулю.
3. Если возможные значения непрерывной случайной величины X расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие пределы:
HmF(T) = O, limF(x) = l. (11.34)
th — к Ґ-
График функции распределения непрерывной случайной величины показан на рис. 11.1.
Определение 13. Производная от функции распределения непрерывной случайной величины X называется плотностью распределения вероятностей X:
