Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
щ =(5 (-32):| + 10 ¦(-2,2V'1 + 15-(-1,2)" +35 ¦ (-0.2)3 + 16 Q&3 + + 15 - ІЗ3 +4 -5,8а )/100 =579,6/100 = 5,796;
тА =(5 -(-32)* + 10 (-2,2)4 + 15 ¦ (-L2)4 +35-(-02)4 +16-034 + + 15-13* + 4 ¦ 534 )/100 = 5480.32/100 = 543032
Затем по формулам (12.13) и (12.14) находим искомые величины:
я, =5,796/1,8873 =0363 е„ = 543032/1387* =4,324.
12.2.4. Доверительный интервал
Заметим, что все оценки, приведенные ранее, определяются одним числом, т. е. являются точечными. При малых объемах выборки точечная оценка может приводить к большим ошибкам и значительно отличаться от оцениваемого параметра. Более широкое применение получил метод доверительных интервалов, разработанный американским статистиком Ю. Нейманом. В дальнейшем этот метод нам понадобится.
Определение 2. Доверительным интервалом Оля параметра Є с надежностью оценки р называется числовой промежуток (В* - S16* + 6),
226 Глава 12. Элементы математической статистики
содержащий истинное значение данного параметра с вероятностью,
равной р:
Р(Є*-5<б<9* + 8) = р, (12.15)
где 0* - оценка неизвестного параметра Э (например, точечная оценка), S > 0 — некоторое число.
Обычно надежность оценки р задается числом, близким к единице. Иными словами, доверительный интервал покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью. Число а = 1 — р называется уровнем значимости. Общая схема построения доверительных интервалов сводится к следующему:
1. Рассматриваются теоретические выборки случайных величин, с распределениями которых связан параметр 9.
2. Подбирается случайная величина }' с известным распределением, значения которой определяются выборками и параметром 9: Y'= У (в).
3. По известному распределению У подбираются числа Y1 и Y2 такие, чтобы выполнялось равенство P (Y1 < Y(Q) < Y2) = р.
4. По значениям Y1 и Y2 определяется число 5 > 0 при известном значении 9*. Таким образом условие (12.15) будет выполнено и доверительный интервал построен.
Пример 7. Найти доверительные интервалы надежности р, = 0,95 и рг = 0,99 для нормальной случайной величины с функцией распределения JV(O1 1) — см. формулу (11.48).
Решение. В первом случае р/2 = 0,475; из равенства Ф Or) = 0,475 по табл. П.1 определяем х = 1,96. т. е. при уровне значимости ос = 0,05 Xe ( 1.96; 1,96). Во втором случае из аналогичного равенства Ф (.v) = 0,495 получаем .г = 2,58, т. с. при уровне значимости Ct = O1Ol X є (-2.58; 2,58).
12.3. Статистические оценки статистических гипотез
Обычно в практических задачах не встречаются случайные величины, распределения которых точно соответствовали бы теоретическим распределениям. Последние являются математическими моделями реальных распределений. Подбор таких моделей и анализ их адекватности моделируемым случайным величинам, что является одной из основных задач математической статистики, которая, в свою очередь,
сводится к проверке предположений (гипотез) о виде модели распределения и о его параметрах.
Определение 3. Статистической называется гипотеза о виде неизвестного распределения, о параметрах известных распределений, об отношениях между случайными величинами н т. д.
12.3.1. Виды статистических гипотез
Определение 4. Нулевой (основной) гипотезой называется выдвинутая гипотеза Нй.
Определение 5. Конкурирующей (альтернативной) гипотезой называется гипотеза H1, которая противоречит нулевой гипотезе %. Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении о том, что математическое ожидание нормального распределения а = 5, то конкурирующая гипотеза может состоять в предположении, что а ф 5. В краткой записи: На: а = 5; #,: а * 5.
Гипотезы различают на простые (содержащие только одно предположение) и сложные (состоящие из конечного или бесконечного числа простых гипотез). Наиболее распространенными являются два типа гипотез;
1. Параметрические гипотезы: при известном виде распределения предположения о неизвестных характеристиках этого распределения.
2, Для известной случайной величины (выборки) предположения о виде ее распределения,
12.3.2. Общая схема проверки статистических гипотез
Определение 6. Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную величину Т, которая служит для проверки статистических гипотез.
Укажем основные моменты проверки статистических гипотез.
1. Для основной гипотезы Hq формулируется альтернативная гипотеза H1.
2. Выбирается малое положительное число а - уровень значимости проверки. Обычно а колеблется в пределах от 0,01 до 0,05.
3. Рассматриваются теоретические выборки значений случайных величин, о которых сформулирована гипотеза H01 и выбирается (формируется) случайная величина Т. Значения и распределение Г полностью определяются по выборкам при предположении о верности гипотезы Hf1, Величина T называется статистикой или тестом критерия.
15"
228 Глава 12, Элементы математической статистики
А. На числовой оси залают интервал D такой, что вероятность попадания текста T в этот интервал равна р = 1 - а:
P(TeD)=l-a. (12.16)
