Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
ір, f ... + ря =1. (11.2)
Если множество возможных значении А'дискретной случайной величины бесконечно, то соответствующий ряд вероятностей сходится и его сумма равна единице:
/J1 + р2 + ... + р„ +..,= 1. (11.3)
Пример 1. Вероятностный прогноз для величины X — процентного изменения стоимости акций по отношению к их текущему курсу в течение віес ті і месяцев — дан в виде закона распределения
X 5 10 15 20 25 30
P 0,1 0,1 02 0,3 02 0,1
Найти вероятность того, что покупка акций будет более выгодна, чем помещение денег на банковский депозит под 3 % за месяц сроком на 6 месяцев.
Решение. Прирост суммы на банковском депозите при условии 3 % в месяц составит через 6 месяцев |(l,03)fl - 1] ¦ 100 % = 19,4 %. Вероятность того, что покупка акции выгоднее панковского депозита, определяется суммой вероятностен, соответствующих более высокому росту курса акций:
P (X > 19,4) = рЛ + ps + Р(, =0,3+0,2 + 0,1 =0,6
11.1.2. Биномиальное распределение
Пусть производится п независимых испытаний, и в каждом из них событие А может либо появиться, либо нс появиться. Пусть также вероятность р появлення события А в каждом испытании постоянна (см. 10.4.1). В качестве дискретной случайной величины X рассмотрим число появления события А в этих п испытаниях. Очевидно, что X1 = 0, Jt3 = I, X3= 2,л",1Ч| = п. Вероятности этих возможных значений Сдаются формулой Бернулли (см. формулу (10.17)):
P1(A) = CJpV-*, (ИЛ)
где a ^ 1 - р — вероятность противоположного события (непоявление события А в одном испытании). Формула (11.4) представляет собой аналитическую форму закона распределения случайной величины
11.1. Дискретные случайные величины 199
(числа появления события А и п независимых испытаниях), которое называется биномиальным: правая часті) в (11.4) представляет собой общий член разложения бинома Ньютона. Используя формулу (11.4), можно составить таблицу биномиального распределения.
Можно показать, что сумма всех вероятностей биномиального распределения равна единице, т. е.
?С>У* =Р" +пр-'д+... + С'р*q-k +... + ?¦ =1. (11.5)
Пример 2. Банк выдает 5 кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0,2 для каждого из заемщиков. Составить таблицу закона распределения количества заемщиков, не вернувших кредит по окончании срока кредитования.
Решение. Примем за Л событие невозврата кредита. Так как заемщики действуют независимо, то выдачу кредитов можно считать за n = 5 независимых событий. Вероятность невозврата k кредитов из 5 описывается биномиальным распределением (11.4), тер = 0,2, q = 0,8, к принимает значения от нуля до 5. Придавая последовательно в формуле (11.4) k значення от нуля до 5 и используя формулы для расчета С* (см. 10.1.1. формулы (10.1)), получаем:
X 5 4 3 2 1 0
P 0,00032 0,0064 0,0512 02048 0,4096 0,32768
11.1.3. Распределение Пуассона
Пусть в каждом из « производимых испытаний вероятность появления события А равна р. Для случая малых значений р и больших значении п используется асимптотическая формула Пуассона. Эта формула выведена при важном допущении, что произведение пр является постоянной величиной, т. е. пр = \. Тогда вероятность тога, что событие А наступит ровно к раз, дается формулой, которая представляет собой закон распределения Пуассона вероятностей массовых и редких событий
/»,(Jb) = JlVVAl. (11.6)
Пример 3. На базу отправлено 10 000 изделий. Вероятность того, что изделие в пути получит повреждение, равна 0,0003. Найти вероятность того, что на базу прибудут 4 поврежденных изделия.
Решение. По условию задачи п = 10 000, р = 0,0003, It = 4. Находим X, а затем по формуле (11.6) и искомую вероятность:
200 Глава 11. Случайные величины
\ = пр = Ю ООО ¦ 0,0003 = 3, Pwona (4) = 34<г 3/4! = 0,160.
11.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин
Установленный закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто используются числовые .характеристики случайной величины, которые дают некоторое осредненное описание случайной величины, получаемое на основе закона ее распределения.
11.2.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины
Пусть случайная величина X имеет закон распределения (11.1).
Определение 5. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений па их вероятности:
Из этого определения следует, что математическое ожидание есть некоторая постоянная (неслучайная) величина. Вероятностный же смысл математического ожидания состоит в том, что оно приближенно равно (в особенности для большого числа испытаний) среднему арифметическому значению случайной величины. Это хорошо видно в случае, когда вероятности всех возможных значений дискретной случайной величины равны р, = р = 1/п в формуле (11.7).
Пример 4. Найти математическое ожидание невозврата кредитов по данным примера 2.
Решение. Воспользуемся итоговой таблицей распределения дискретной случайной величины, данной в этом примере и формулой (И.7):
