Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
І Іанрпмер, если событие А — шар, событие В — белый цвет, то их произведение AB — белый шар. Аналогично определяется произведение нескольких событий как совместное появление всех их.
Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме необходимого комплекса условий S. не налагается, то та-
10,2. Умножение вероятностей 187
кал вероятность называется безусловной. Если же налагаются другие дополнительные условия, содержащие случайные события, ш вероятность такого события называется условной.
Опр*деление 5. Вероятность события В в предположении о наличии события А называют условной вероятностью РА (В).
Пример 3. В яишке лежат 11 деталей, 3 из них нестандартные. Из ящика дважды берут по одной детали, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что во второй раз из ящика будет извлечена нестандартная деталь — событие В, если в первый раз взяли нестандартную.
Решение. После nepijoro извлечения в ящике из 10 деталей имеется 8 стандартных, и следовательно, искомая вероятность
РА (Л) = 0,8..
Пусть теперь известны вероятность P(A) события А и условная вероятность РА (В) события В. Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 10.1. Вероятность произведения двух событии определяется формулой
P(AB) = P(A) РЛ(В). (10.4)
В теории доказывается, что справедливо равенство
P (A)PAB) = Р(В)РЯ (А).
Пример 4. В условиях ітримера 3 найти вероятности того, что в первый раз извлечена нестандартная деталь, а во второй раз — стандартная.
Решение. Итак, событие А - это извлечение из ящика нестандартной детали, а событие В — стандартной. Тогда вероятность Р(Л) = 3/11, а условная вероятность Р., (В) ¦= 0,8. Искомая вероятность произведения этих событий (их совместного появления в указанном порядке) равна, согласно теореме 10.1,
P (AB) = P (А) Р, (S) = (3/11) 0,8 ш 0,22.
Теорема 10.1 допускает обобщение на случай произведения любого числа событий Л,, A2, A:i,.... Д„:
P(AxA7AyAn)= P(A1) P^ (A1) РЛЛг{А3)-P^1 А , <Д„ ), (10.5)
т. е. вероятность совместного появления п событий равна произведению п вероятностей, где РЛЛі...Лі (Л )— условные вероятности собы-
188 Глава 10, Основные положения теории вероятностей
тий Ak в предположении, что события Л,, А-2.....At_, уже произошли
(A= I, 2, ...,л).
Пример 5. В урне находятся А белых шара, 5 красных н 3 синих. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что в первый раз появится белый шар (событий А), во второй раз — красный (событие В), в третий - синий (событие С).
Решение. Вероятность появления белого шара в первом извлечении P {A) = 1/3; условная вероятность появлення красного шара во втором извлечении при условии появления в первый раз белого шара Р., (В) - 5/11; условная вероятность появления синего шара в третьем извлечени при условиях появлення в предыдущих извлечениях белого и красного шаров РАВ (С) = 0,3. Искомая вероятность определяется по формуле (10.5) при « = 3:
P(ABC) = P(/I)P4 (В)Рли(С) = (1/3)(5/11)0,3 = 0,0-15.
10.2.2. Независимые события
Определение 6. Событие В называется независимым от события Л, если условная вероятность события В равна его безусловной' вероятности (появление события А не влияет на вероятность события В):
РЛ(В) = Р(В). (10.6)
Для независимых событий теорема умноження вероятностей 10.1 в общей форме, которая следует из (10.5), имеет вид
Р(АІА1А3-А,) = Р(А,)Р(А1)Р(Л3)-Р(АЯ), п>1. (10.7)
Равенство (10.7) принимается за определение независимых событий.
Пример 6. Найти вероятность поражения цели при совместной стрельбе тремя орудиями, если вероятности поражения цели орудиями равны 0,9, 0,8 и 0,7 соответственно (события А, В и С).
Решение. Поскольку события А, В и С являются независимыми, то искомая вероятность вычисляется, согласно формуле (10.9), при я = 3:
P(ABC) = P(A) P(B) P(C) = 0,9-0,8-0,7 = 0504
Когда в результате испытания могут иметь место п назависнмых событий с известными вероятностями их появления, особый интерес представляет случай нахождения вероятности наступления хотя бы одного из них (например, в случае грех событий — найти вероятность наступления либо одного, либо двух, либо трех событий). Обозначим это события через А. Справедлива следующая теорема.
10.3. Обобщение умножения и сложения вероятностей 189
Теорема 10.2. Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий Av A1.....An определяется формулой
Р(Л) = 1 -?,?-?, (10.8)
где q,= i -/э, — вероятности соответствующих противоположных событий A1 (і = 1, 2, п).
В частном случае, когда все события А, имеют одинаковую вероятность р, из формулы (10.8) следует, что
P(A) = [-q", q=l -p. (10.9)
Пример 7, На перевозку груза направлены 4 автомобиля. Вероятность нахождения каждой из машин в исправном состоянии равна 0,8. Найти вероятность того, что в работе участвует хотя бы один из выделенных для этого автомобилей.
Решение. Вероятность противоположного события (машина неисправна) равна q = 1 - 0,8 = 0,2. По формуле (10.9) находим искомую вероятность при н = 4:
