Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Решение. По условию задачи а = 48, а = 2, а = 49, ? = 51. Используя формулу (J 1.36), получаем, что вероятность спроса на 50-й размер в заданном интервале
Р(49<Х<50) = Ф((51 -48)/2) - Ф ((49 - 48)/2) = = Ф (1,5) - Ф (0,5) = 0,4332 - 0,1915 = 0,2417.
Следовательно, спрос на 50-й размер костюмов составит около 24 %, и магазину нужно предусмотреть это в общем объеме закупки.
11.4.3. Распределение у} Пирсона
Пусть A',, ХъА'„ — нормально распределенные независимые случайные величины с параметрами а = 0 и а = І. Тогда сумма их квадратов
Xі = Х? +X] + ... + Х'п (11.49)
называется ^-распределением с п степенями свободы. Доказано, что плотность этого распределения определяется формулой
/(X)=X^e-** /(2"12T (п/2)), х>И (11.50)
212 Глава 11. Случайные величины
где Г (л) = j t*"V(ft — гамма-функция.
Распределение х3 определяется только одним параметром - числом степеней свободы п. Графики функции (11.50) для разных л показаны на рис. 11.4.
0,6 0,5 0,4 0,3 0.2 0,1 0
я = 2
\— я-5
я = 10
Ь>-а___
О 10 20 30 40
Рис. 11,4, Графики функции (11.50) для разных значений п
11.4.4. Распределение Стьюдента
Пусть Z-нормальная случайная величина с параметрами а = 0 и а = 1, a Y— независимая от Zвеличина, распределенная по закону хг с п степенями свободы, Тогда случайная величина, распределенная по закону
T = ZfJvJn1 (11.51)
называется распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета) с п степенями свободы, І Ілотность этого распределения дается формулой
С возрастанием п распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному (рис. 11.5).
Рис. 11.S. Распределение Стьюдента
Упражнения 213
11.4.5. Распределение Фишера
Пусть U и V — независимые случайные величины, распределенные но закону і2 со степенями свободы т и п соответственно. Тогда величину, распределенную по закону
(4.53)
V/n
называют распределением Фишера со степенями свободы т и п. Плотность этого распределения дается формулой
Г(т/2)Г(п/2)
Упражнения
11.1. Из коробки с пятью деталями, среди которых четыре стандарт-пых, наудачу взяты три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Л' — количества стандартных деталей среди отобранных.
і 1.2. Книга издана тиражом 100 тыс. экземпляров. Вероятность брака в экземпляре равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.
11.3. Случайная составляющая дохода равна 2Х, а случайная составляющая затрат равна 50У. Найти дисперсию прибыли при условиях: величина А' распределена по биномиальному закону с параметрами п = 100, р = 0,5; величина У распределена по закону Пуассона с параметром к - 2; случайные величины X и Y являются независимыми.
11.4. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной законом распределения
X -5 2 3 4
P 0,4 0,3 0,1 02
11.5. Найти дисперсию дискретной случайной величины А'—числа отказов элемента некоторого устройства в 10 независимых опытах, если вероятность отказа элемента & каждом опыте равна 0,9.
і 1.6. Непрерывная случайная величина X задана на всей оси Qr функцией распределения F(x) = 1/2 + (arctg х)/п. Найти вероятность того, что величина X примет значение, заключенное в интервале (0, S).
214 Глава 11. Случайные величины
11.7. Случайная величина А" задана функцией распределения
0, х <2.
F(x) = < ОЛ-v-L 2<х <i
1, .г > 4.
Найти вероятность того, что Л' примет значения: а) менее 0,2; 6) менее 3; в) не менее 3; г) не менее 5.
11.8. Дискретная случайная величина задана законом распределения
X 3 4 7 10 P 02 0.1 0.4 0,3
Найти функцию распределения и построить ее график.
11.9. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины А'
F(x):
0, X < л/6,
3 sin З.Т, тг/6 < X <, л/3, 0, X > п/З.
Найти функцию распределения F(x).
11.10. Случайная величина А'задана на положительной полуоси Ox функцией распределения F(x) = l-e'" (а > 0). Найти математическое ожидание величины А*.
11.11. Случайная величина Jl задана на интервале (0, 5) плотностью распределения /(х) = 2х/25; вне этого интервала /(х) = 0, Найти дисперсию X.
11.12. Случайная величина X задана плотностью распределения /(.г) = fi"ul/2. Найти математическое ожидание и дисперсию.
11.13. Случайная величина задана функцией распределения:
[1-хї/х3. хїхп (дг0 >0). Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратиче-
СКОЄ OTfOTOHCHHC.
11.14. Найти дисперсию и среднее к вал рати чес кое отклонение случайной величины А', распределенной равномерно в интервале (2, 8).
11.15. Размер мужских сорочек является случайной величиной с нормальным законом распределения, математическим ожиданием 39 и дисперсией 9. Какой процент от общего объема заказа следует предусмотреть магазину для сорочек 40то размера воротничка при условии, что этот размер находится в интервале (39,5, 40,5)?
