Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
9.42.y'-5j('+6tf =а»0 =0, р'и=1 при .vu=0. 9.43. j/" - 3#' + 2у = 0, у„ = L У =0 при Jf0=O. 9.44.^-7^ + 6/, = 12,^=1 у; =4 при Jf0=UL
9.45. у" -Ay' + Зу = 3х +Zy0 = 0, у = 1 при д0 =0.
Найти решения уравнений второго порядка, удовлетворяющие заданным краевым условиям.
9.46. у" -Iy' + by = 12.V11 =2при ха =0;?/, =64 при .г, =lnZ
9.47. у" - 5у' + G# = 2ех, уа =2 при л-ц = 0; = -6 при X1 = In 3.
5
9.48. у" - 6у' + 9у = Qx,ув =0 при хп -0; yi = - при .г, = І.
9.49. + Зг/ + 2// = 6е\ у„ =7 при Jrn =0, у, =4 при x1 = 1п2.
Часть 111
Элементы теории вероятностей и математической статистики
Глава 10
Основные положения теории вероятностей
Случайным относительно комплекса условии S называется событие, которое при осуществлении указанного комплекса условий может либо произойти, либо не произойти. Теория вероятностей имеет дело со случайными событиями, однако она не может предсказать, произойдет ли единичное событие или нет. Теория вероятностей изучает вероятностные закономерности массовых однородных случайных событий. В последние годы аппарат теории иероятноетей активно используется в экономике,
10.1. Основные понятия теории вероятностей 10.1.1. Некоторые формулы комбинаторики
Пусть задано конечное множество элементов некоторой природы. Из Них можно составлять определенные комбинации, количества которых изучает комбинаторика. Некоторые ее формулы используются в теории вероятности; приведем их.
1. Комбинации, состоящие из одной и тон же совокупности и различных элементов и различающиеся только порядком их расположения, называются перестановками. Число всех возможных перестановок определяется произведением чисел от единицы до п:
Pn =1-2-3-- п = п\
2. Комбинации по т. элементов, составленные из л различных элементов (т < п), отличающиеся друг от друга либо элементами, либо их порядком, называются размещениями. Число всевозможных размещений
10.1. Основные понятия теории вероятностей 185
Л; = и.(я-1)(л-2)-(и-т+1).
3. Комбинации, содержащие но т элементен каждая, составленные из п различных элементов (т<п) и различающиеся хотя бы одним элементом, называются сочетаниями. Число сочетаний определяется формулой
с; =—-—, с; =с'Г\ л; = />с;. < і о. і >
В частности, вторую из формул удобно использовать в расчетах, когда т > и/2.
Напомним формулу бинома Ньютона, и которой участвуют коэффициенты (10.1):
(.P + 4Y -OV нс;-VV н ¦¦¦ і с>г' +OV- (Ю.2)
Пример 1. Сколькими способами можно выбрать: а) по 2 карты; б) по 32 карты из колоды, содержащей 36 игральных карт? Решение. Искомое число способов:
a) Cl1 = = = 630, б) С™ = С* = -^- = 58905.
3,1 2! 34! 2 3fi * 41 321
10-1.2. Виды случайных событий
Ранее было введено понятие случайного события. Обычно в теории вероятностен вместо термина «совокупность условий* употребляют термин «испытание», и тогда событие трактуется как результат испытания.
Определение І. События называют несовместными, если в одном и том же испытании, появление одного из них исключает появление других. Например, выпадение «орла* при подбрасывании монеты исключает появление в этом же испытании «решки», и наоборот.
Определение 2. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появление хотя бы одного из них является достоверным событием. Например, при произведении выстрела по мишени (испытание) обязательно будет либо попадание, либо промах; эти два события образуют полную группу.
10.1.3. Понятие вероятности
Назовем каждый из возможных результатов испытания элементарным событием, или исходом. Те элементарные исходы, которые, интересуют нас, называются благоприятными событиями.
186 Глава 10. Основные положения теории вероятностей
Определение 3. Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходив к общему числу рав невозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, называется вероятностью события А.
Вероятность события ,-1 обозначается P(A). Понятие вероятности является одним из основных и теории вероятностей. Данное ранее ею определение является классическим. Из него вытекают некоторые свойства.
Свойство І. Вероятность достоверного события равна единице.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число U < P(A) < 1.
Следовательно, вероятность любого события удовлетворяет неравенству
0<Р<Л)<1. (103)
Пример 2. В коробке лежат 10 шаров: fi белых и 4 черных. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад шаров будет 4 белых.
Решение, Найдем число благоприятных исходов: число способов, которыми можно взять і белых шара из 6 имеющихся, равно
Cl =С'1 = ~^— = 15. " 21 W
Общее число исходов определяется числом сочетаний из 10 по 5: CfJ1 = 25Z Согласно определению 3, искомая вероятность
P= 15/252 = 0,06.
10.2. Умножение вероятностей
10.2.1. Произведение событий и условная вероятность
Онределеігяе 4. Произведением двух событий Л и В называется событие AB, означающее совместное появление этих событий.
