Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
1. Точка (Ка, La) называется оптимальным планом, если в ней функция прибыли (8.18) принимает максимальное значение. Найти предельную норму замещения производственной функции F при оптимальном плане.
В точке локального экстремума первые производные функции прибыли П (A", I) равны нулю, откуда имеем систему двух уравнений:
PF11(K11. Ln)-R=Q> PF[(KC, I0)- W=O.
И"
164 Гдавай. Функции нескольких переменных
Как известно, предельная норма замещения первого ресурса вторым вычисляется по формуле ц. = -F,' /F'K. откуда при оптимальном плане получаем: р, = -W/R.
2. Максимизация функции прибыли. Найти оптимальный план и максимум функции прибыли (8.18), если F(K, L) = 2 (KLY'3.
Таким образом, функция прибыли в данном случае имеет вид U(K, L) = 2P(KL)bi - WL-RK.
Условия локального экстремума приводят к системе двух линейных алгебраических уравнений относительно координат K0 и L0 оптимального плана:
Отсюда получаем координаты оптимального плана:
K0 =(2Р/3)3/R1W. I0 =(2P/3f/RW2. Подстановка этих величин в функцию прибыли дает ее максимум:
П||1И =(2P/3y/RW.
8.5.3. Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов относится к методам аппроксимации, или приближенного восстановления функции но известным се значениям в ряде точек. На практике часто возникает аадача о наилучшем подборе эмпирических формул, позволяющих представить в аналитической форме данные статистических наблюдений, изменений и т. д. Задача формулируется следуювщм образом: имеются данные наблюдений в п точках
M1, JVZ31 М„, (8.19)
некоторые величины и, и получены соответствующие значения
Ui- Щ..... и.. (8.20)
Нужно подобрать функцию определенного вида u=f (M), чтобы она по возможности наиболее точно отражала неизвестную зависимость измеряемой величины и от параметров (координат) точек измерения ^jWj}.
В.5. Применение в задачах экономики 165
Таким образом, задача нахождения эмпирических формул состоит из двух этапов:
1) определения общего вида зависимости/(M) или вида функции/ с точностью до постоянных параметров (кдаффициентов), входящих в нее;
2) подбора этих неизвестных коэффициентов таким образом, чтобы в точках наблюдений (8.19) подобранная функция наилучшим способом отвечала данным измерений (8.20).
Итак, пусть на первом этапе определено, что эмпирическая формула должна включать совокупность известных базовых функции
(8.21)
(8.22) (8.23)
Ф, (Kf)1 ф, (M)1 т. е. эта формула должка иметь вид
f (M) = (1^,(M) +O2Vi(M)+ ... + ату„(М),
где
а,, «г, ат
— неизвестные параметры эмпирической функции. Второй этап состоит в определении неизвестных параметров (8.23). Их следует выбрать такими, чтобы значения функции (8.22) по возможности наименее всего отклонялись бы в точках (8.19) от измеренных значений (8.20).
m
Рис. 8.5. Графическая интерпретация метода наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратов погрешностей (отклонений) 6, (рис. 8.5) функции (8.22) в точках (8-19) как функции от т аргументов — неизвестных параметров:
5(«„ а,, 0.) = 1)6? = ?[«, -/(M1)I2 =
= 1
"і -Хо,ф,(М()
(8.24)
166 Глава 8. Функции нескольких переменных
Для установления точки минимума функции (8.24) т переменных (8.23) нужно найти частные производные этой функции по всем т аргументам и приравнять их к нулю. Отсюда получается система т линейных алгебраических уравнений относительно т неизвестных параметров (8.23):
AjSax +A12Ci1+...+A^an = Br j = 1 2, т. (8.25)
Коэффициенты и свободные члены уравнений этой системы определяются по формулам
Поскольку функция (8.2-1) является положительной, выпуклой вниз и неограниченной в евклидовом пространстве Е", то решение системы уравнений (8.25) представляет собой координаты точки ее локального минимума.
При обработке данных экономической статистики наиболее распространенным является приближение эмпирической формулой в виде линейной функции одной переменной (например, это широко используется в трендовом анализе). В этом случае совокупность точек изменения (8.19) представляет собой набор значений аргумента .v;, х-2,... х„. а совокупность функций (8.21) состоит из двух функций: .г и 1, Эмпирическая формула (8.22) имеет вид
Неизвестные параметры а и Ь определяются из системы двух линей пых уравнений
в которой коэффициенты и свободные члены выражаются форму-
4* =Л* =?>;M)<P.(AU B^f1U1Vj(M1); (8.26)
j, k= I1 2, п.
и = ах + Ь.
(8.27)
(8.28)
лами
A22 =п, B1=Y1
(Н.2У)
Упражнения 167
Упражнения
Найти области определения функции.
8.І. г = л ' 2 .8.2, z = Jxy~. 8.3. z = Ji
а2 -д-1 -у1 .SA. z = Jx~-у.
8.5. г =
1 + X,2 + у
т.8.6.*=-
.8.7. Z= In (.г+ у).
-г + J/ -
8,8. Z =
lj,vj» ?---.
X - у
Построить линии уровня функций.
8.9. г=ху. 8.І0. z = x +у. 8.11. z = Jy^x^. Н.І2. г = --
Найти частные производные от функций.
8.14. г= X3 + 31^-^.8.15. z = 8.16. г = sin (х + у).
