Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
Следует особо отметить, что условия (ft. 14} не являются достаточными условиями экстремума. Например, для функции г = Xі - у7 частные производные равны пулю в точке 0 (0, 0). однако в этой точке функция (которая является уравнением гиперболического параболоида), не имеет экстремума: /(O1 0) = O1 но в любой окрестности точки 0 есть значения функции как положительные, так и отрицательные.
Точки, в которых выполняются условия (8.14). называются точками возможного экстремума, или стационарными точками.
Найдем точки возможного экстремума следующих функций.
Пример 13. z =л'э + у' +лту -Лх-5у.
Решение. Согласно условиям (8.14), имеем — = 0н — =0,откуда поит ду
лучаем систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными:
8.4. Локальный экстремум функции нескольких переменных 161
Решение этой системы X= ], 1/ = 2, г. е. точка с координатами (1,2) является стационарной для данной функции двух переменных.
Пример 14. и =х'2 + 2х + у1 + 2ху + г' + zy.
Решение. Согласно необходимым условиям экстремума, все три первые частные производные функции равны в этой точке нулю, откуда получаем систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:
X + у = -1, J Тх + 2у + г =0, у+2z= (V
Решение этой системы дает единственную стационарную точку возможного экстремума: (3, -4, 2).
8.4.2. Достаточные условия локального экстремума
Рассмотрим случаи функции двух переменных z = /(.v, у), часто используемый на практике. Обозначим вторые частные производные B1Z d7z d'z
этой функции ————. —- в некоторой точке Mn через O11, аи. Q21 дх дх ду ду'
соответственно. Тогда достаточное условие локального экстремума формулируется следующим образом.
Теорема 8.3. Пусть в точке Ма (X9, уп) возможного экстремума функции и = /(.г, у) и в некоторой ее окрестности все вторые частные производные этой функции непрерывны. Тогда, если
ЯцЯгі ~ali > 0, (8.15)
то функция и = /(.г, у) имеет в точке Мй локальный экстремум: минимум при йм < 0 и максимум при ?,, > 0. Если же аиа.^ -а22 & 0,то данная функция не имеет локального экстремума в точке Mn. Пример 15. Найти точки локального экстремума и значения в них функции z = xb - y:i- Ъху.
Решение. Сначала находим стационарную точку из условий
— = — = 0. Получаем систему двух алгебраических уравнений с дву-дх ду
мя неизвестными:
\хг-у =0, \х + у7 = 0,
H-1222
162 Глава 8. Функции нескольких переменных
решения которой дают координаты двух точек {0, 0) и (-1,1). Найдем вторые производные:
аи = — = Gx, = ——- = —л, ап = — = -Ьу, дх дх ду ду'
откуда Д = O11O22 - af, = -З&п/ - 9. В точке (0, 0) имеем Д < 0, и значит, в ней нет локального экстремума. В точке (—1, 1) получаем, что Д= 27 > 0, т. е. в этой точке данная функция имеет локальный экстремум; поскольку а,, < 0, то это точка максимума. Значение функции в ней и,,,., =/(-1, 1)=!.
8.5. Применение в задачах экономики
8.5.1. Прибыль от производства разных видов продукции
Рассмотрим типичную задачу нахождения зкстремума функции нескольких Переменных, ВОЗНИКаЮщуЮ В ЭКОНОМИКе. ПуСТЬ X\, X2.....
хт — количество производимых от разновидностей продукции, а их цены - соответственно P1, P2, Р„ (все P1 — постоянные величины). Пусть затраты на производство этих видов продукции задаются функцией издержек
C=S(X,, X1..... хя).
Тогда функция прибыли имеет вид
U=P1X^PjX2 + ...+Pjcm-S(X11 х2..... хя). (8.16)
Максимум прибыли естественно искать как условие локального экстремума функции многих переменных (8.16) при Х;>0 (при отсутствии других ограничений)
ЄП
—- =0, 1 = 1, 2, .... т.
Bx1
Это условие приводит к системе алгебраических уравнений относительно ПереМеННЫХ X;
P1 = —=0, J = I1 2..... т. (8.17)
дх,
Система уравнений (8.17) реализует известное правило Экономики: предельная стоимость (цена) продукции равна предельным издерж-
Б.5. Применение в задачах экономики 163
кам. на производство этой продукции. Решениями этой системы уравнений являются наборы, состоящие из т значений каждый. Нужно заметить, что сам процесс нахождения решения системы уравнений (8.17) зависит от вада функции издержек и может быть довольно сложным.
Приведем конкретный пример. Пусть производится два вида продукции, обозначим их количества через х и у. Пусть цены этой продукции, соответственно, P1 = 8 и P,= 10, а функция затрат C = Xі + ху + у2. Тогда, согласно (8.16). при х{ =х, X2 = у прибыль является функцией двух переменных:
П(.т,у) = &х + ]0у ~х~ -ху -у7.
Условия локального экстремума приводят к системе линейных алгебраических уравнений
' \2х + у =& [х + 20 = 10,
решение которой определяет точку (2. А). Поскольку
ґ2м =-2<Г), а,а =-2; O11 =\ А = аиаи-а*2 =3>0,
то найденная точка определяет локальный максимум функции прибыли, который равен Пш;11 = 28.
8.5.2. Максимизация прибыли производства однородной продукции
Функция прибыли обычно вычисляется по формуле
П(К, L) = PF(K, L)-WL-RK, (8.18)
тле F (К, L) — производственная функция, P — цена продукции, W и R — соответственно, факторные цены на труд и капитальные затраты, LnK- соответственно, затраты трудовых ресурсов и капитала. Рассмотрим две задачи, связанные с определением максимума прибыли.
