Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
6.34. Даны точки А (0, 3) и В (А. 5). На оси Од- найти точку, сумма расстояний от которой до точек А и В наименьшая.
Решите задачи с экономическим содержанием.
6.35. Зависимость между издержками производства С » объемом продукции Q выражается функцией С-30 Q - 0.08 Q\ Определить средние и предельные издержки при объеме продукции: a) Q= 5 ед„ б)Ц=10ед.
6.36. Функции долговременного спроса D и предложения S от цены р на мировом рынке нефти имеют, соответственно, вид
D = 30 - 0,9р, 5 = 16+ 1,2р. Найти эластичность спроса в точке равновесной цены. Как изменятся равновесная цена и эластичность спроса при уменьшении предложения нефти на рынке на 25 %.
6.37. Функции спроса D и предложения 5 от цены р выражаются, соответственно, уравнениями
?> = 9-p,S= 1 + р.
Найти эластичность спроса н предложения при равновесной цене, а также изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на 10 %,
Глава 7
Интегралы
7.1. Неопределенный интеграл 7.1.1. Первообразная
Предыдущие разделы были посвящены олной из основных задач дифференциального исчисления — нахождению производной заданной функции. Однако еще больше приложений в разнообразных науках приводят к другой задаче: по данной функции /(.г) найти такую функцию F(x), производная которой равна функции / (х).
Определение 1. Функция F(Jf) называется первообразной для функции / (х) на промежутке X, если для любого .г є X функция F (.г) диф-ференнируема и выполняется равенство F'(x) = f (х).
Пример 1. Функция /-"(л") = !11-1" первообразная для функции /(д) = І/хна промежутке (0, +ад), так как в каждой точке этого интервала выполнено равенство (1л х)' = l/.v.
Заметим, что задача отыскания по заданной функции/(.г) ее первообразной неоднозначна; если F(x) первообразная, то и функция F(x) + С. где С — произвольное постоянное число, также первообразная для функции /(.г), так как | F(x) +¦ C]' =/(х).
Определение 2. Совокупность всех первообразных функции для функции/(х) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции/(X) на атом промежутке и обозначается символом
В этом обозначении знак J называется знаком интеграла (это стилизованная латинская буква S1 означающая суммирование),/(х) — подын-тегралъиай функцией, / (х) dx — подынтегральным выражением, а переменная л* — переменной интегрирования.
(7,1)
128 Глава 7. Интегралы
Операция нахождения первообразной по ее производной или неопределенного интеграла по заданной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию. Для проверки правильности выполнения интегрирования нужно продифференцировать результат гг. получить при этом подынтегральную функцию.
Пример 2. [Zr dx = X2 + С; проверка: (Xі +C)' = 2х.
Пример 3. Jsin.r dx - - cos.т + С: проверка: (-cos х + C)' = sin х.
Пример 4. ^eXrdx =^3'' + С, проверка: j^e3* + C1J =е^.
7.1.2. Основные свойства неопределенного интеграла
Укажем свойства, которые непосредственно вытекают из определения неопределенного интеграла:
1. dQ f (X) dx) *f(x)dx п Q/(x)dx)'=f(x).
2. jdF(x) = F(x)+C.
Следующие два свойства называются линейными свойствами неопределенного интеграла:
3. \ kf(x) the =k\ J(X) dx. \.\\f(x)±g(x)\dx=\f(x)dx±\g(x)dx.
Заметим, что последнее свойство справедливо для любого Конечного числа слагаемых в подынтегральной функции.
7.1.3. Таблица основных неопределенных интегралов
Ранее мы получили таблицу основных производных элементарных функций. Приводимая далее таблица основных неопределенных интегралов представляет собой вычислительный аппарат интегрального исчисления. Часть формул таблицы непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию. Справедливость всех формул легко проверить дифференцированием.
7.1. Неопределенный интеграл 129
II. [— = 1пЫ + С (л#0).
J X ґ dx
III. Г-г = arctfi.v + C(-arcctg.v + С).
J 1 + д-
IV. f ^Х =arc5injr + С (-arccosх+ Q (-1 <х< 1).
J Vl-х2
V.la'dx=— + C (0<а*1), {е1 dx = а1 + С. J Ina J
VI. j si п.V dx = -cos X + С.
VII. Jcosjrdir =sinx +С.
VIII. [-?-- tgjT + C (д-* « = 0, xl ±2, ..1 J cos X \ 2 У
IX. [ —^— = -ctg .т + С, (.v*/m, n=0, + L ±2. ...). J sin .T
x -a' 2a I .r + a dx.
+ C (\x\* ft a * 0).
XI. [ t ЙГ =Іп|г4-Jra W-| t с (1.v| л- JAI up" * < OY
Интсфалы этой таблицы принято называть табличными.
Как было указано в 5.1.7, операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций. С операцией интегрирования дело обстоит иначе: интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются алементарньгміі функциями. Примеры некоторых ИЗ ЛИХ:
1) J e"''1 &v - интеграл Пуассона (интеграл ошибок); — интеграл Френеля;
3) Jeos(.r2)<?r — интеграл Френеля;
4) [ J^-ax _ интегральный логарифм; J ІПД"
=. rs'mx .
5) -ах — интегральный синус;
J .г
130 Глава 7. Интегралы
f COS Л
6) -dx — интегральный косинус.
