Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
3! 51 7! (2л-1)1
Пример 12. /(г) = cos .т.
Решение. По аналогии с функцией синуса имеем = casf.r +
откуда ползаем:
( п\ [U " - нечетное, I 2J 1(-1)'"'', и- четное.
Подстановка в формулу (6-3) приводит к разложению по формуле Маклорена:
-.1 v* г* г7.
cos .v = 1 - — +—-— + ... + (-1)" —--+ O IXі" ). (6.6)
21 4! 6! ^ (2п)!
Пример 13./(j) = In(I +.v). Решение. Так как
(1+j)"
то /(0) = П, 0 = (-1)""'!; подстановка в формулу (6.3) приводит к разложению функции In (I + .т) по формуле Маклорена (при этом 0! = 1):
1,,(1 + ^) = ^-^ + ^-.^ + ...+(-1)-- + 0(0:"). (6.7) 2 3 4 п
Пример 14. /(.г) = (I + .v)°. где a — вещественное число.
Решение. /*> (х) = a (a - 1) (a - 2) - (et - и + 1) (1 + .г)""т. е.
(0) = a (a 1) ¦¦¦ (et -¦n + 1), и формула Маклорена для данной функции имеет вид
(l + x)-=l + ^.r + tt<°"v+-
1' 21 (6.H)
+ а(а-1)-(а-иМ)т.+ _
rcl
В частном случае, когда a = « — целое число,/"м> = 0 и формула (fi.8) перехолит V формулу бинома Ньютона
6.3. Исследование функций 113
(1 + .v) = 1 + —-v + —--.v + ... +хя, (R.9)
П 2!
т. е. бином Ньютона является частным случаем формулы Маклорена. Формулы (6.4)-(6.8) представляют собой асимптотические формулы (нлл оценки) COOTJfTfTHt1HHo при л" -> 0. Аналогичные разложения можно получить с использованием формулы (G.3) н для других функции. Асимптотические формулы эффективно используются при вычислении пределов функции. Покажем это па примере.
Пример 15. Найти lim8"1'1 "г.
д.—U Y
Решение. Применяя формулу (6.3) при л = 2, получаем:
.. .y-.tV3! + oU')-.v ,. -1.'3! + 0(.v')/.!-3 1
Inn-—--=—^—----= lim---—---= —,
6.3. Исследование функций 6,3.1. Признак монотонности функции
Одной из су в гест венных характеристик функции является ее поведение на отдельных интервалах — возрастание или убывание. Это определяется приводимой далее теоремой.
Теорема 6.2. Если фунцкия /(а) дифференцируема и f(x)>0 (/*(.v)<0) на интервале (а. Ь), то она не убывает (не возрастает) на этом интервале.
При / (.V) > О (/* (.г) < 0) имеем признак строгой монотонности, т. е. функция возрастает (убывает). Геометрическая интерпретация связи знака производной функции и характера ее изменения очевидна (рис. 6.1): если углы наклона касательных па каком-то интервале являются острыми, то функция на этом интервале возрастает: tg ф > 0; прн тупом угле наклона касательной функция убывает, и tg «р < 0.
*
0
X
Рис 1.1. Связь между знаком производной функции и характером ее изменения
114 Глава 6. Приложения аппарата производных
6.3.2, Точки локального экстремума
Определение (. Точка xv называется точкой локального максимума (минимума) функции fix), если для любого х * Jf0 в некоторой окрестности точки выполнено неравенство/(хр) > f (х) (J(X0) </(.If)).
Локальный минимум и локальный максимум объединены общим названием локальный экстремум.
Теорема 6.3 (необходимое условие локального экстремума). Если фуііция /(х) дифференцируема в точке д-0 и имеет в этой точке локальный экстремум, то / (Xf1) - 0.
Геометрический смысл теоремы 6,3 показан на рис. 6.2: если в точках локальных экстремумов существуют касательные, то они параллельны оси Or.
Рис. 6.2. Локальные экстремумы функции
Точки, в которых касательные параллельны оси Ох, а значит, производная равна пулю, называют точками возможного экстремума, или стационарными точками. Если Jf0 — точка возможного экстремума, т. е./ (.V0) = 0, то она может и не быть точкой локального экстремума. Например, для функции j\x) =х* (рис., 4,1) производная при д = 0 равна нулю, однако в этой точке нет локального экстремума. Таким образом, теорема 6,3 не является достаточным условием сущестиовання локального экстремума.
Теорема 6.4 (достаточное условие существования локального экстремума). Пусть функция f (х) диф<реренцируема в некоторой окрестности точки .V0. Если при переходе через точку .V11 слева направо производная / (х) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс).
6.3. Исследование функций 115
то в точке л-,, функция /{.V) имеет локальный максимум (минимум); в протишюм случае данная функция не имеет локального экстремума в точке хй.
Рассмотрим применение указанных теорем на примерах нахождения точек локальных экстремумов функций.
Пример 16. Найти точки локального экстремума и интервалы монотонности функции /(х) - Xі - Hr2 + 9х.
Решение. Сначала находим производную/ (л') = Зх2 - 12т + 9. Приравняв ее нулю и решая уравнение Xі - + 3 = 0, находим две точки возможного экстремума: „т, = 1 и X2 = 3. Нетрудно увидеть, что f(x) при переходе через точку .гі = 1 меняет с «+* па «-», т. е. в этой точке имеет место локальный максимум: аналогично устанавливается, что в точке ж? = 3 функция /(т) имеет локальный минимум.
Найдем теперь интервалы монотонности данной функции. Поскольку / (т) > 0 при .V є (—», 2), то в силу теоремы 6.2 функция монотонно возрастает па этом интервале; (2, 3) является интервалом монотонного убывания /(т) (f (т)<0), а на интервале (3, +со) функция монотонно возрастает (/ (х) > 0).
