Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
^g'(x)
fly)
бесконечный), то существует и предел Um-—:—, причем справедлива формула
Ii1nZ^) = Ii1nZlI). (6. і,
*-"g(x) *->°g (X)
Замечание. Правило Лопиталя можно применять повторно, если / (.г) и g" (.г) удовлетворяют тем же требованиям, что и исходные функции/(.V) Iig(.V).
TeHepL рассмотрим примеры.
1 Гимом Франсуа Антуаи ді1 .'Іошіта.и, - французским математик {1661-1704).
6.1. Раскрытое неопределенностей 109
„ . ,. і — rrjs V .. shit ., cos.t L Пример і. lim--— - Inn-= lim—--= —.
.-,о 2\' '-" 4v ¦¦-04 4
Здесь мы дважды последовательно применили правій о Лопитадя, ло-
0
скольку два раза имели дело с неопределенностью вида
ёи -1 Зе'Гг Пример 2. lim—--= lim--- = 3.
i-tll Y r-tfl j
Пример 3. lim-= hm----= а (1 та).
1 x-q '¦'4 1
6.1.2. Неопределенность вида —
OO
Будем называть отношение двух функций
Л-0
при х-*а
неопределенностью вида — если lim fix) = limg(.ir) = аэ, -OQ ИЛИ + от.
(f, І Щ Uli
В этом случае правило Лопнталя остается справедливым при замене условия 1іпі/<дг) = limg(.v) = U на условие lim f(x) = \\mg(x) = *.
Пример 4. lim —^- = lim— = Hm— =0. Пример 5.
,. ln(.t-l) ,, 1/'{.V-I) 1 .. sin2 Tix , sin2nLt л lim—----- Ііпт-----=— Um---- =-nm—--¦ =0.
і-+і
ctg tix ¦'¦-" -rcsin 1 JU- It r-' T - 1 1
6.1.3. Другие виды неопределенностей
Неопределенности вида 0 • <л и » - °с можно свести к неоиределенно-0 00 п
стям вида - и —. Покажем это на примерах. О да
Пример 6. Найти предел Іігл.тіплг.
Решение. Здесь неопределенность вида 0 ¦ °о. Преобразуем функцию
, ІПЛ"
иод знаком предела: .v тх =-; теперь мы имеем неопределенность
Ух
со rt
вида — при X -> 0+. Применяя правило Лопиталя, получаем:
ОС
110 Глава 6. Приложения аппарата производных
.. , ,. (Іи.ї)' ,. 1/Д ,. ,, hm.г ln_v = hm--- = lim —-—¦ = - Iim.r = 0.
!-.(і. -1"-* О4" (1/ Y )' v_> °* — V т "' "*
Пример 7. Найти lirri(cosecх - ctg Jr).
Решение. Это неопределенность вида оо - оо. Преобразуя функцию под
1 COS X I -COS X „
знаком предела, получаем: cosec х - ctg .г =-----— = ——¦—. I е-
sin.T sinjf sin.v
перь это неопределенность вида Jj при X —> 0. Применение правила Ло-
пнталя дает
... . 1 -cos.v ,. sin.r .
lim (cosec .г - ctg Jf) = Um——- = hm—— = 0. .-о ґ .о sin_Y )-o cos .r
Рассмотрим неопределенности вида 0Л 1*, *Л имеющие место при рассмотрении пределов функций Jy=W(Ay"'. Неопределенности этого вида сводятся к неопределенности вида 0 • ао, уже рассмотренной ранее, с помощью тождественного преобразования:
u(x)rirl = erity,u "{Ч (6.2)
Пример 8. Найти предел Ншлг1.
Решение. Это предел вида 0°; используя формулу (6.2), имеем с учетом решения шестого примера:
Ига jt1 = liintf1'" = ей =].
х—Чі- г •O*
Пример 9. Найти предел
lim(l + .v),lK-'.
X-. о
Решение. Это предел вида 1н, Найдем предел функции у = erg г In (1 + X) при А'-сО.
В соответствии с !представлением (6.2) имеем следующую цепочку равенств:
limy = JimJn (1 + х)с\.й Iv = lim—- =
,. VCi + л) .. cos2 2* = lim—-~- - lim —- - = VI, '-»2/cos32v r-°2(l+jr)
Следовательно, искомый предел равен
lirnf* = -Je. но
6.2. Формула Маклорена 111
6.2. Формула Маклорена
Одним из основных принципов математики является представление сложного через более простое. Формула Маклорена1 как раз и является реализацией этого принципа. Любые функции, дифференцируемые достаточное число раз в точке х = 0, могут быть представлены в виде многочленов некоторой степени. Последние являются наиболее простыми элементарными функциями, над которыми удобно выполнять арифметические действия, вычислять значения в любой точке и т. д.
Итак, функция /(.г), имеющая (п + 1) производную в точке х = 0, представима по формуле Маклорена вместе с остаточным членом:
Формула (6.3) дает возможность представить функцию /(х) в виде многочлена, коэффициенты которого вычисляются довольно просто. Эта формула широко используется и для приближенных вычислений значений различных функций; при этом погрешность вычислений оценивается по остаточному члену разложения 0 (.г).
Рассмотрим примеры разложения функций по формуле Маклорена.
Пример 10, / (х) = е\
Решение. Поскольку ew (х) = е\ ?"> (0) = ?° = 1 для любого я, формула Маклорена (6.3) имеет вид
ІЗ Tl
= 1 + j? + ^ + ^+. ..+fL + ofx"). (6.4)
11 2! ЗІ п\
Формула (6.4) используется для вычисления числа е с любой необходимой точностью. Отсюда при Jt= 1 получаем приближенное значение числа*? «2,7182818... Пример 11./(х) - sin X.
Решение. Нетрудно проверить, что fn> (х) = sin X + 77— ; отсюда имеем:
х"+0(х). (6.3)
0
при п четном.
при п нечетном.
Колин Маююр^н — шотлзнлскиЛ математик (1698—1746).
112 Глава 6. Приложения аппарата производных
Подстановка в формулу (6.¦I) приводит к выражению
мил: = х- — + — -—+... +(-1)я ' —--+ о(х,1я>). (6.5)
