Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
знак d вносится ек\ г. е. <?*' dx = dv -- - d{eb ),
k
Пример 13. JjT cost dx.
Решение. Интеграл ы вида J a" cos kx dx и j .v" sin kx dv, где к любое
число и п > 0 — целое число, вычисляются так же, как и интеграл общего вида, приведенный в примере 1. Под знак d каждый раз вносится тригонометрическая функция, и процедура интегрирования по частям
повторяется и раз: cos kxdx = dv = - d (sin kx), затем sin kxdx = dv =
k
= -- d (cos кх) и т. д. В данном случае мы имеем: k
J.ts cosjr dx = jx2d($\nx) = х- sin.r - J2tsin.t dx = = x1 sin,v + 2J" X (/(cos ,r) - Xі sin л + 2 c cos v ~2J cos a dx = = Xі sin_c + 2-ї'cost -2sin.r + C-
4. Рациональная функция от sin х и cos x Рассмотрим интеграл вила
j A(sinjr, Cosa') dx, (7.5)
где R - рациональная функций. Этот интеграл берется универсальной подстановкой
t = tg —, - Tt < А' < п. (7.6)
134 Глава 7. Интегралы
2t ]-t2 . r t , 2dt
SHi-T =--, Cosa"=-5-, x=2arctgf, ЙХ =---r- (/./)
1 + f2 i + r 1 + r
Подстановка формул (7,7) а интеграл (7.5) лает:
ЇД(зіпх, cosx)dx = iR{-^, ^-) = \ R1(OdI,
J J [\ +11 1 + t1) і 3
где Я] (Г) — другая рациональная функция аргумента t. Пример 14. J -—^
cos X
Решение. Подставляя сюда формулы универсальной подстановки (/.7), после очевидных упрощений получаем:
f dK = \dt = t + C = lg- + C. J 1 + cosx J 2
Рассмотрим интеграл |sinm x cos" .r dx (m it n — натуральные числа).
Универсальная подстановка приведет здесь к громоздким выкладкам; гораздо удобнее применить метод замены переменной. В зависимости от четности тип употребимы три следующих варианта:
а) т — четное, п — нечетное: подстановка г = sin Л",
б) т — нечетное, п — четное; подстановка t = cos г,
в) т н я — оба нечетные; любая из двух подстановок, а или 6\
г) ти и п — оба четные; понизить степени тригонометрических функций и в полученной сумме проанализировать каждое слагаемое по этим пунктам.
Пример 15. Jsinx5 cosX1 dx.
Согласно п. б выполним подстановку t = cos .v, тогда dt = -sin х dx, sin* x=(l- f2)2; отсюда имеем:
Jsmsx COS1X ax = -J(l-*s f t2dt =-J(r -2r' + f(;) dt =
Л ^ --Є --f7 4¦C=COS3X^COS2A --COS1X -Л + С.
5 3 7 [5 7 3)
5. Рациональная функция от е' Интеграл вида
JR(e')dx (7.8)
7.2. Определенный интеграл 135
берется подстановкой
t = e', (7.9)
откуда X = In t, dx = —.
t
Пример 16. Найти интеграл [-——.
J е1 + 1
Применяя подстановку (7.9), получим:
J e* +1 J (( + і) і * t + i 4 t + l)
p* #л /2 e<* =3л ї.ї
= — -— + — -t + ln(( + 1) +C=---— + — -є*+ 1л(ет + 1)+ C
4 3 2 4 3 2
7.2. Определенный интеграл
7.2.1. Определение определенного интеграла
Пусть функция /(х) задана на отрезке [а, Ь]. Разобьем отрезок [а, Ь] на п произвольных частей точками
а=ха <х, <х: <... <X1 <хм < ... < х„ = Ь. (7.10)
Выберем в каждом из частичных отрезков [х„ X1+1] произвольную точку
Xf йхм, Ойі<л. Теперь образуем сумму произведений:
o=ZU1)Ar1 +Ab)Ax2 + ... + Z(U^ -1;/^.)Дг( . (7.11)
которую будем называть интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [л, Ь].
Обозначим через X длину максимального частичного отрезка данного разбиения
X = IBaX(Ar1}. (7.12)
(SfI
Определение 3. Конечный предел / интегральной суммы и при X -> О, если он существует, называется определенным интегралом от функции Z(х) по отрезку [а, 6]:
136 Глава 7. Интегралы
Jim 1/U1)Ar1.
(7.13)
Определенны» интеграл обозначается сим полом
ь
/ =|Дл)</л.
(7.14)
Если определенный интеграл (7 1-ї) существует, го функция / (х) называется интегрируемой на отрезке \а, Ь], числа а и b — соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, J (х) — подынтегральной функцией, х— переменной интегрирования.
Величина определенного интеграла, согласно данному ранее определению, однозначно определяется видом функции /(.V) и числами а H Ь. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.
7.2.2. Классы интегрируемых функций
Соответствующие теоремы математического анализа определяют функции, интегрируемые на отрезке [а, Ь\ (т. с. существование определенного интеграла (7-14)). В частности, таковыми являются;
• непрерывные на отрезке [<з, Ь] функции:
• ограниченные на отрезке \а, Ь\ функции, имеющие конечное число точек разрыва;
• монотонные на отрезке [а, Ь\ функции.
7.2.3. Основные свойства определенного интеграла
1. Интеграл [ f(x) dx был определен для случая, когда а < Ь.
Обобщим понятие определенного интеграла и на другие случаи. По определению, полагаем
как определенный интеграл от функции на отрезке нулевой длины. Также по определению, полагаем, что
ь ь t>
\j{.x)dx=\j{(.)dt=\j(z)di.
(7,15)
7.2, Определенный интеграл 137
j/(x)dx = -j/(x)dx,
(7.16)
поскольку при движении от і к я все длины частичных отрезков Ах,¦- xt_, -Х( имеют отрицательный знак в интегральной сумме (7.13). 2, Для любых чисел а, Ь и с имеет место равенство
