Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
]f(x)dx=jf(x)dx + jf(x)dx.
(7.17)
3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
\kf(x)dx=k\j(x)dx.
(7.18)
4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов:
J [/(.v) ± g(x)} dx = jf(x)dx±\g (X) dr. (7.19)
Заметим, что свойство 4 соблюдается для любого конечного числа слагаемых.
Будем полагать далее, что а < Ь.
5. Если функция j (х) a 0 всюду на отрезке [а, Ь\, то
j/(x)dx>0.
а
6. Если f(x)<g(x) всюду на отрезке [а, Ь\, то
\f(x)dx<,\g(x)ax.
а, о
7. Если функция f(x) интегрируема на [а, Ь], то \f(x)dx <\\f(x)\dx.
8. Если Мит — соответственно, максимум и минимум функции / (х) на отрезке [а, Ь\, то
А
т(Ь-а)<, j f(x)dx < M(b-a). (7.20)
10-1222
7.2.4. Основная формула интегрального исчисления
Теорема 7.3. Непрерывная на отрезке fa, b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция
F(x) = \f(t)dt. (7,21)
В формуле (7.21) переменная интегрирования обозначена буквой L, чтобы избежать путаницы с верхним переменным пределом х.
Согласно теореме 7.3, непрерывная на отрезке \а, Ь\ функция f(x) имеет первообразную, которая определяется формулой
]f(t)dt = F(x) + C, (7.22)
где С — некоторая постоянная. Подставляя сюда х = о, получаем с учетом свойства 1 определенного интеграла:
j/(t)dt=F(a)+C, a = F(a)+C,
откуда C = -F(a). Тогда из (7.22) имеем:
\/(t)dt = F(X)-F(O); а
Полагая х = Ь, получаем формулу
jf(x)dx = F(b)-F(a). (7.23)
п
Равенство (7.23) называется основной формулой интегрального исчисления, или формулой Ньютона — Лейбница.
Разность F(b) - F(a) условно записывают символом F(х)[*, т. е.
\f(x)dx = F(x)\*. (7.24)
Формула (7.24) дает широкие возможности вычисления определенных интегралов. Нужно вычислить неопределенный интеграл и затем найти разность значений первообразной в пределах интегрирования.
7.2. Определенный интеграл 139
Пример 17. f — = Inх\; = In е-In t = 1 -0 = 1.
і х
Пример 18. [-- = arcLg x\[t = arctg I - arctg (-1)
11 + л
Пример 19.
j -т^Ц- = In (г + VT+T7)!= b <2 + Vif) - In (V2 -і Vl + -v"
7.2.5. Основные правила интегрирования
1. Замена переменной в определенном HHTcqj^e
Теорема 7.4. Пусть: 1)/(.т) — непрерывная функция на отрезке (я, Ь]; 2) функция ф (t) — дифференцируема на [а, (3), причем ф' (t) непрерывна на [a, P) н множеством значений функции ф (?) является отрезок \а, Ь\\ 3) ф (а) = а. ф (?) = h. Тогда справедлива формула
j f(x) f\4>(t)W(t) tit. (7.25)
а а
Формула (7.25) напивается формулой замены переменной, или подстановки, н определенном интеграле.
Заметим, что при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет нужды возвращаться к прежней переменной, как это делалось при вычислении неопределенного интеграла, так как определенный интеграл представляет собой число, которое, согласно формуле (7.25), равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. Теперь при подстановке следует сначала найти новые пределы интегрирования и выполнить необходимые преобразования подынтегральной функции.
Заметим также, что при замене переменной в определенном интеграле необходимо соблюдать условия теоремы 7.4, иначе можно получить неверный результат (особое внимание следует уделять выполнению условия 2 теоремы).
Пример 20. \^-^-.
Решение. Выполним подстановку С- I +х2. Тогда dt=-2x dt. t- I при дг=0 и /=2 при х=1. Поскольку функция х = Vl -12 непрерывна
to*
71 f -ji
7 ~1Т
л 2"
-I) = In
2+V5
140 Глава 7. Интегралы
на [1, 2], то и новая подынтегральная функция также непрерывна, и значит, для нее, в силу теоремы 7.4. существует первообразная на этом отрезке. Получаем:
Пример 21. J Vo3 -х'1 dx.
(і
Решение. Применим здесь подстановку д- = а sin f. Тогда dx = a cos t dt,
•fa1 -хг ~ a cos t,t = arcsin —, г = 0 npw.v=0, t = - при x=a. Подстав-
a 2
ляя все это в исходный интеграл, получим:
JVa3 -Xі dx =а2 J cos11 dt = a' J -(1 H-cos2t) dl =
2
О ft *
4(
J Л sin2f f +-
71«
Пример 22. jdx.
о
Решение. По формуле Ньютона — Лейбница имеем
r
jdx =x\l = п.
Теперь вычислим этот интеграл при помощи замены переменной: t=tg х. Тогда г=0 при х = 0 и Г = 0 при д = л, :r = arctg f, т. с. (ir = ^/(l + г*). Подстановка а исходный пнтеїрал дает
о о і + і
Полученное противоречие объясняется тем, что функция замены переменной г = tg д имеет разрыв при д-= тг/2 и не удовлетворяет условию 2 теоремы 7.4.
2. Интегрирование но частям в определенном интеграле Теорема 7.5. Пусть функции и (.г) и v (х) имеют непрерывные производные на отрезке [а, Ь\, тогда справедлива формула
Tj it
Ju dv = uvI;-Jp du. (7.26)
7.2. Определенный интеграл 141
Равенство (7,26) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.
і
Пример 23. j хе~х dx.
а
Решение. Примем здесь и=х, v = e~x или dv = -е~' dx, тогда і і і
