Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
422 Глава 18. Прогнозирование экономических процессов
Логистическая кривая (кривая Перла — Рила) — возрастающая функция, наиболее часто выражаемая в виде
l/y^k + af, (18.17)
используется и другой вид кривой
U1 = k/(l + be-'").
В этих выражениях у, = и и b — положительные параметры, к — предельное значение функции при стремлении f -> оо. Конфигурация графика логистической кривой близка к графику кривой Гомперна. но в отличие от нее логистическая кривая имеет точку симметрии, совпадающую с точкой перегиба. С помощью этой функции хорошо описывается развитие нового производства. В начале производства нового вида товара технические средства производства еще недостаточно разработаны, издержки производства высоки и спрос на товар мал. В дальнейшем, с увеличением спроса и усовершенствованием технических методов изготовления, производство товаров увеличивается. Наступает насыщение товаров на рынке, рост производства замедляется и наступает стабилизация выпуска товаров на определенном уровне.
Рассмотренные кривые роста, наиболее часто используемые в экономических исследованиях, могут оказать помощь при выборе тина кривой.
Существует ряд подходов, облегчающих выбор кривой роста. Это, в первую очередь, статистические методы, например, метод последовательных разностей, метод характеристик прироста. Часто кривую роста выбирают исходя из значений критерия, в качестве которого принимают минимальное значение суммы квадратов отклонений фактических значений уровня от расчетных.
Однако нельзя недооценивать наиболее простой метод — визуальный. Подбирают кривую роста, форма которой соответствует реальному процессу. Если на графике временного ряда недостаточно просматривается тенденция развития, то следует провести сглаживание ряда и затем подобрать кривую, соответствующую новому ряду. При этом целесообразно использовать современные пакеты компьютерных программ.
Пример 7.
По данным месячных выпусков продукции фирмы за 8 месяиев рассчитать:
18.3. Применение моделей кривых роста в экономическом прогнозировании 423
» коэффициенты On и я, линейного тренда к прогноз на месяц вперед у, = а0 + a,t;
• коэффициенты параболического тренда аа, а{, а2 и прогноз на месяц
вперед у, = а0 + a,t + O2T1. Решение.
Для расчета коэффициентов линейного и параболического трендов воспользуемся выражениями, полученными нз системы нормальных уравнений. Перенесем начало координат (Ґ). Необходимые вычисления занесем в таблицу.
1. Линейный тренд.
№
е
У,
<о:
У. ¦f
1
-7
3423
49
-23961
2
-5
3321
25
-16605
3
-3
3210
9
-9630
4
-1
3122
1
-3122
5
1
3034
1
3034
6
3
2940
9
8820
7
5
2845
25
!4225
8
7
2739
49
19173
Итого
О
24634
168
-8066
Вычислим коэффициенты линейного тренда по формулам (18.13):
а0 = Xy1 Jn = 24 634/8 = 3079125; a, = 2yt tJWf = -806Єу'168 = -48,0t.
Таким образом, величина среднего уровня ряда при f = 0 составляет 3079,25, среднемесячное уменьшение выпуска продукции составляет 48,01.
Уравнение линейного тренда: у, = 3079,2.5 - 48,01 f.
Прогноз на 9-й месяц составит: у, = 3079,25 - 48,01 ¦ 9 = 2647,16.
424 Глава 16. Прогнозирование экономических процессов
2. Параболи чески й тренд.
/
f
.V1
.V/
Wf
. '1
W
.«,<'¦>'
1
-7
3423
4.9
-23SGl
-343
2401
167727
.2.
-5-
3321
25
16605
125
625
83 025
3
-3
3210
Э
9630
-27
«1
2В 890
3122
1
-ЗІ 22
-1
I
3122
5
1
303?
1
3034
I
1
3034
6
3
2340
9
8R20
27
31
26100
7
5
2835
25
H 225
125
625
71 125
S
1
2739
49
І9 173
343
2401
134 211
Итого
0
24 634
16Ь
-S066
0
6216
517 594
Вычислим коэффициента параболи чес кот тренда по формулам (18.14).
0,, = 3077.05; о, = -48,01; д, = 0,105. Уравнение параболического тренда: yr = 3077,05 - 48,0Ir' + 0,105(ґ/)г.
Прогноз на 9-й месяц: у, =3077,05 - 48,01 ¦ Э + 0,105 ¦ Эг = 2653,47.
18.3.2. Расчет доверительных интервалов прогноза
Прогнозные значения исследуемого показателя определяют путем подстановки в уравнение кривой времени с, соогветствуюшей периоду упреждения. Полученный прогноз называют точечным. В дополнение к точечному прогнозу можно определить фаницы возможного изменения прогнозируемого показателя, т. е. вычислить интервальный прогноз.
Если тренд характеризуется прямой или полиномом второго порядка, то доверительный интервал можно представить в виде
0^+S11K*, (18.18)
где п — длина временного ряда; L — период упреждения; #я+і — точечный прогноз на момент п + L1 — дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных:
Sl =Цу, -g,)3/(n-k). (18.19)
Здесь у, — фактическое значение уровнен ряда; у, — расчетные значения уровней ряда; к — число оцениваемых парамефов выравнивающей кривой (для прямой к = 2, для параболы 2-й степени k = 3n т. д.).
13.3- Применение моделей кривых роста в экономическом прогнозировании 425
