Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для eZi-термов имеем
Ф] (г, оо) = Nkqm (оо) Пт, (?; оо) Етс1 (ту оо)^Z- =
= /п,« (?) /„.« (х) (3.25)
Д(?-1)-+?, /? (1 + Л) х, (3.26)
Ej (со) = ?¦[„„,„,„,] = — ~f^pj, п = + и2 4- т + 1.
(3.27)
Для eZ2-TepMOB соотношение (3.25) остается справедливым, предельный переход (3.26) изменяется на
R (1 - ту) — т, (3.26')
а выражение (3.27) для уровней энергии переходит в
?у(/?)-?г# " 1 = --H#-Y. п' = п[+п'2 + т+1.
(3.27')
'¦^ И. В. Комаров и др. 177
Квантовые числа щ и п2 равны числу нулей радиальной /п,т(?) и угловой }Пгт (т) частей решения (3.25), которое соответствует eZj-термам, а \П и п2—числу нулей решения, отвечающего е22-термам.
Наборы параболических квантовых чисел j—~[nnin2m] и j' =[n'nin'2rn\ отличаются от набора сферических квантовых чисел /= (Nlm) и от исходного набора сфероидальных квантовых чисел j—{kqm}, однако они связаны с ними однозначными правилами соответствия (иногда их называют корреляционными диаграммами термов).
Для радиальных квантовых чисел справедливо равенство
k=n1 = n[, (3.28)
которое является следствием теоремы о сохранении числа нулей решения задачи Штурма — Лиувилля, зависящей от параметра, при непрерывном его изменении. Связь угловых квантовых чисел q и п2, п2 несколько сложнее, а именно при 12~>Z\.
для eZi-термов
Ь =
ч =
2и2 +" -А?—\ если п j1 = целому числу,
1 / Х-7Л Z (3'29)
2«2 + 1 -f Ent in -А^—-), если п целому числу,
для eZ2-TepMOB
' _ , z2 — zx
п2, если /г 2 <С« —f—'
/ < 7. — Z\ ¦
/г2 + 1 + Ent «г — я'-^Ч—ll> если лг>«'^—
где Ent(x) означает целую часть от х.
Из соотношения (3.29) следует, что, как правило, n2=?q. На первый взгляд этот факт находится в противоречии с теоремой о сохранении числа нулей решений краевой задачи при непрерывном изменении параметра. В действительности при R-^-oo нули угловой функции Sm,(Ti; R) не исчезают, однако часть из них становятся несущественными для определения функции, поскольку в той области изменения аргумента tj, где сосредоточена эта часть нулей, угловая функция экспоненциально мала.
178
Подробнее эти вопросы рассмотрены в § 4, при изучении асимптотики решений задачи двух центров в пределе R-*-oo.
При Zl=Z2 отсутствует деление собственных значений Ej(R) на eZy и eZ2-TepMbi. Угловая функция Етч(у\; R) при R-+00 является величиной одного порядка у обоих центров, и вблизи каждого из них сосредоточено одинаковое количество ее нулей, т. е. я2 = яг .
В этом случае для четных q—qs (симметричные решения, w—\) и нечетных q=qa (антисимметричные решения, w——1) имеют место очевидные соотношения
qs = 2n2, qa=2n2+\. (3.30а)
При классификации решений по собственным значениям оператора инверсии / (3.20) справедливы равенства
q=qg=2n2+l-{-)mt q = qu = 2n,+ l+{2-)m (3.306)
для четных (1=1) и нечетных (/= — 1) решений соответственно.
4. Алгоритм вычисления термов и волновых функций. Волновые функции задачи двух центров выражаются через у. к. с. ф. и р. к. с. ф. р-типа Зтд(р, Ь\ г\) н П„,ь(р, а; ?), определенные формулами (3.15) при значениях параметров (3.3а). При реализации изложенных в § 2 алгоритмов решения соответствующих уравнений (1.14а) и (1.28а) следует учитывать ограничения, диктуемые трехмерностью исходного уравнения (3.1).
Как известно, при разделении переменных в сферических координатах вначале определяется константа разделения Я из углового уравнения, а затем уже из радиального уравнения, при подстановке в него полученного значения Я, находится энергия Е.
В задаче двух центров уравнения для радиальной и угловой функций необходимо решать совместно, поскольку искомая энергия Е и константа разделения К входят в оба уравнения равноправно.
Допустимые значения р и Я находим, как решения системы уравнений (2.35) и (2.22):
F$+l (р, а, I) = 0, F$>+1 (р, b, X) = 0, (3.31)
где числа членов Ni и N2 цепных дробей (2.6) и (2.18) взяты достаточно большими, чтобы обеспечить заданную точность вычисления р и X.
21* 179
Таблица 12а
s gs С s
0 1 1 8,17368 (— 1)
1 3,67094 (—4) 1,66177 (- -1) 2,99301 (—1)
2 4,29893 (—5) 2,48844 (- -1) 6,58778 (—2)
3 1,04473 (—5) 3,07417(— -3) 1,04811 (—2)
4 3,49560 (—6) 3,18145(- -4) 1,30825 (—3)
5 1,40710 (—6) 2,81799(- -5) 1,34417 (-4)
6 6,40070 (—7) 2,17667(- -6) 1,17374 (—5)
7 3,17850 (—7) 1,48883 (- -7) 8,9U96(—7)
8 1,68689 (—7) 9,13135(- -9) 5,98579 (—8)
9 9,43506 (—8) 5,08399 (- -10) 3,60448 (—9)
10 5,50791 (-8) 2,57657(- -11) 1,96704 (—10)
15 8,79940 (-8) 1,23830 (- -16) 8,00092 (—10)
20 1,72125 (—9) 1,01556(- -18) 8,49484 (—19)
s Ss c s
0 1 1 —1,00028
1 7,25315(—1) —9,55788 (- -1) 7,55971 (-1)
2 1,57912 (-5) —9,53349 (- -2) 1,65878 (—1)
3 1,42304 (—6) —6,63487 (- -3) 1,87477 (—2)
4 2,90403 (—7) —3,67202 (- -4) 1,47812(—3)
5 8,61181 (—8) —1,70163(- -5) 0,05566 (-5)
6 3,17753 (—8) —6,80360 (- -7) 4,56006 (—6)
7 1,35389 (—8) —2,39547 (- -8) 1,95425 (—7)
8 6,38298 (—9) —7,54050 (- -10) 7,29999 (—9)
9 3,23804 (—9) —2,14957 (- -H) 2,41901 (—10)
10 1,73110 (—9) —5,71294 (- -13) 7,21807(—12)
15 — —2,55294 (- -16) 2,6.3087 (—16)
