Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
п —2-b(q2+7q+6—8m2)q(q — l)
Разложения (5.48) — (5.50) не являются равномерными по аргументу т). Если оборвать их на т)-м слагаемом, то оценка поправочного члена будет сильно зависеть от значения т) и от величин еь ег, входящих в определение промежутков д)2пДля того чтобы точность формул (5.48) и (5.49) на промежутке их перекрывания была одинаковой, удобно взять ei = 1/6, в определении
108
Таблица 9
Нормировочные коэффициенты kt{c), fe3(c) разложений (5.49), (5.50) и (5.62)
\-c-h-*g\+с-2 [З!]-1 2-i7gl+0 (с-3)
*.(е) ,/91 + c~h-*h\ + с-22-Щ\ + о (c-3) <2nc>1 i + c-h~*h\ + c~4-luh\ + о (c-3)
q*+\0 <?3+35 92+50 9 + 24±m(128 9+64)
<?8+36 97+546 96+3000 95+3249 q* — 24 876 q3 — 93 076 q2 — —119 280 q — 51 840+m (1536 95+19 200 9«+43 008 93 — —157 440 q1— 238 080 9 — 129 024)+m2(98 304 92+l96608 q+ 1+73 728)
94+Ю 93 — 13 95 — 62 9 — 64+128 m2
<7<+36 9? — 30 q* — 4104 95 — 18 351 <?«+13 140 q3+ + 112 268 92+265 680 ?+165 888+m2(l536 <?«+15 360 93+ + 29 184<?2 _ 537 6oo9 — 491 520) + 98 304 m«
6 9+3+m2(8 9+4)
h\ 324^+324?+171 +m2 (73692+736<7+200) +m« (64</2+ +64 9+48)
h\ 6 <7+3+m(16 9+8)+m2(8 q+4)
324 92+324 q+171 +m (1152 q2+1152 0+480) +m2 (1248 9'+ + 1248 <?+328)+m3(5l2 92+512 9+128) +m«(64 92+64 9+48)
для t]i и т]2 и в2=1 /в определениях для чз и т]4. Как показывают численные расчеты, применение формул (5.48) — (5.50) при 1=0, 1, 2, т=0, 1 дает хорошие результаты (4—5 верных значащих цифр) уже при значениях параметра с=5.
3. Асимптотика вытянутых радиальных сфероидальных функций. Построим вначале асимптотику в. р. с. ф. по методу эталонного уравнения. Здесь придется по существу повторить все выкладки, относящиеся ,к построению асимптотики в. у. с. ф. на промежутке 2)\. Будем исходить из уравнения
u'® + [?^^ + -j^]u® = 0. (5-5D
которому удовлетворяют функции
?/»|(с,6) = У1гг1Л«|(с.6). (5-52)
Асимптотика спектрального параметра vm((c) определена формулами (5.5), (5.40).
В качестве эталонного используем уравнение
W (г) + [-? + Чр^] w(z) = 0 (5.53)
и его решение, конечное в нуле
w{z) = y~zJn{2eV~z), (5.54)
где /т(2сУг)—функции Бесселя
-2 <-Ц%«+*)1 • ^
Произведя вычисления, аналогичные (5.16) — (5.23),
получим
uml(c 1) = с Jm (ъуЦёлП, (5<5в)
* (с i) =Z=^2«-?> + lVY=l«ctg VV=\ + о(
(5.57)
(С — константа), откуда следует асимптотическая формула для в. р. с. ф., нормированных в соответствии
по
с (1.19),
(5.58)
где ?=У!2—1, q—l—т. При |-> оо порядок роста поправочного члена О (с-2) в (5.57) такой же, как и порядок роста второго слагаемого. Оценка в (5.58) не является равномерной в окрестности корней функций Rmt(c, ?). При |>1+е, е>0, гф&(с), воспользовавшись асимптотикой функции Бесселя, можно получить более простое выражение
Rml (С, I) =
(5.59)
Асимптотические формулы для в. р. с. ф. третьего и четвертого рода следуют из (5.58) после замены функций Бесселя на функции Ханкеля первого и второго рода соответственно
,+0(i.)j.
(5.60)
Первое из равенств (1.24) позволяет найти также формулу для в. р. с. ф. второго рода, куда входит функция Неймана. Легко получить для в. р. с. ф. второго, третьего, и четвертого рода и более простые выражения, аналогичные (5.59). Равенство (2.13) и асимптотическая формула (5.24) позволяют написать нетривиальное асимптотическое выражение для Rm(c, 1), которое не следует непосредственно из (5.58)
Ro,(c, 1) = J/J
(5.61) ill
Rmi (с, I) - Jn [cl - 2l±l arctg C)
¦2c
Можно также построить асимптотические разложения в. р.с.ф. в виде, близком (5.49) и (5.50). Разобьем полуось |е[1,оо) на два перекрывающихся промежутка
2>4'=[Ui] и ®;=[?2,со], i2 = 0(c-»).
На промежутке &)\ в. р. с. ф. можно представить рядом
Rml{C,l) =
kW~ (J™ № + 2 (тс)' 2 Bi (~c^ W } • <5-62)
где ? = У|2—1. На промежутке 2>'s, используя асимптотику функций Бесселя, получаем более простое разложение
Дт|(с,Б)= Re
- it,)^2 e''<ct—Ят/2)
c(«)"2(l + iO('+1>'2
X
41 + 2(i)'2
4
1 (l+i?)fe ^ (1 — *X)fe
+
(5.63)
Коэффициенты Bi, Dl, El, Fl находятся из рекуррентных алгебраических соотношений. Они совпадают с соответствующими коэффициентами разложения (5.49) и (5.50). Несколько первых коэффициентов и нормировочный множитель k3(c) приведены в табл. 7, 8, 9. Переход к радиальным функциям других родов в (5.62) осуществляется, как обычно, заменой функций Бесселя на другие стандартные цилиндрические функции.
4. Асимптотика сплюснутых угловых сфероидальных функций. Будем исходить из краевой задачи
Пл) +[-р* + т^, + (т^] v (л) = о,
У (л)
Vl -4s
n=±i
< со
(5.64)
для функций Vmt(p, ч]), которые связаны со су. с. ф. следующим образом:
Vmi(р, Л) = CVX^fSmi(р, л) , (5.65)
где С — константа.
112
Для того чтобы нагляднее представлять дальнейшие выкладки, удобно использовать квантовомеханическую терминологию и рассматривать (5.64) как уравнение Шредингера с потенциалом
, ч___я, \-т*
vvu 1 — ri* (1—л2)2
и энергией Е=—р2. Потенциал и(ч) при достаточно больших X, рассматриваемых как параметр, имеет вид двух симметричных потенциальных ям, каждая из кото- v(tj) рых локализована в окрестности точек т) = ±1 и носит характер кулоновской (рис.11). Такому потенциа-
