Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
121
известно большее число членов асимптотического разложения
1 (п\-<)п—\—±___1___22__164 1362
НоКР) *Р 1 4р (4р)2 (4р)3 (4р)4 (4р)б
12 744 131 707 1 484244 »М\ (4р)« (4р)' (4р)« и\р>)
- 2е-*р/l - 1 _ J___2р_ __14б__
*К*Р) [1 4р (4р)« (4р)з (4р)«
1240 (4р)6'
11 839 _ 124 324 1 416 490 _ п П\\ (с о7ч (4р)« (4р)' ' (4р)« ^р»/)' l0'5"'
Выражение для Xoi отличается знаком при экспоненциально малом слагаемом. Выписанные степенные слагаемые в разложении (5.96) убывают по порядку величин как sjp, слагаемые в множителе при экспоненте — как s2/p. При s=l удовлетворительные численные результаты для Хоо(р) и Koi(p) (не менее трех верных знаков) получаются уже при р>3.
5. Асимптотика сплюснутых радиальных сфероидальных функций. Асимптотические разложения с. р. с. ф. наиболее простые. Приведем здесь результаты, полученные по методу эталонного уравнения.
Введем в рассмотрение функции Umt(p, |)
(Р> I) =У12+1 Rnu (р, il), (5.98)
уравнение для которых не содержит первой производной
U"(I) + [р2 - + (СТ] U© = °> [0, оо).(5.99)
Из свойств четности с. р. с. ф. следует, что функции Umi(p, 1) удовлетворяют следующим условиям:
Umi (Р, 0) = 0, 1 — т нечетное, g 10Q
U'mi iP, 0) = 0, 1—т четное.
Из формулы (5.75), определяющей асимптотику собственных значений Xmi(p), следует, что уравнение (5.99) не имеет точек перехода на рассматриваемом промежутке |е[0, оо). Поэтому асимптотику функций Umt(p, |)
122
можно искать в виде
Um, (Р, I) = С, [z' (р, |) ] -1/2cos (рг (р, 6)), 1-т четное,
(5.101)
Umdp, t)=C2[z'(p, |)]"1/2 sin(pz(p, I)), l—т нечетное
(5.102)
(Сь С2 — константы), где функция z(p, |) раскладывается в асимптотический ряд
«(Р. 6) = S **№)/>-*. (5-103)
причем
Ml)U=o=0. (5.104)
В силу равенства (5.104) граничные условия (5.100) выполняются автоматически. Для zh(%) получаем стандартным образом рекуррентную систему дифференциальных уравнений первого порядка. Интегрируя эту систему при дополнительных условиях (5.104), находим
«0>.B~S-f arctg|-p(2x + ^) -
-p[xd + X2 + т)(?^ + | (X2 + т)^] + 0(?),
(5.105)
где обозначения для % и т те же, что и в предыдущем пункте. Отсюда следует главный член асимптотики
Rml (р, Ц) = cos [pi - 2Х arctg l] + 0 (^),
J — m четное, (5.106)
*S) = pVF+~i$[n[pl~ 4arctgl] + 0(?)
/ —m нечетное. (5.107)
Асимптотика с. p. с. ф. второго, третьего и четвертого рода может быть легко получена из (5.106) и (5.107), если заменить тригонометрические функции в (5.106) и
(5.107) в соответствии с определениями (1.35), (1.37) —
(1.39).
123
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Простейшие асимптотические разложения угловых сфероидальных функций при больших значениях параметра в виде рядов по полиномам Эрмита и Лагерра были получены в работах Meixner (1948), Ebedein (1950), Sips (1949), Abramowitz (1949). Там же были найдены степенные члены разложения собственных значений дифференциального оператора.
Равномерные асимптотические представления сфероидальных функций имеются в книге Meixner, Schafke (1954). Там же приведен главный член экспоненциального расщепления собственных значений
Xml{p).
Более подробные исследования асимптотики вытянутых сфероидальных функций в различных интервалах изменения независимой переменной были выполнены Fuchs (1964), Slepian (1965). Вайнштей-ном (1965), МйИег (1963), Славяновым (1967), Streifer. (1968). Первые три автора нашли асимптотику собственных значений интегрального уравнения для в. у. с. ф. В работах Слепяна и Вайнштейна рассматривается также случай, когда одновременно с 01 большой величиной является индекс / — т. Изложение в настоящем параграфе отирается на работы Слепяна и Славянова.
Асимптотика с у. с. ф. иа полном интервале изменения независимой переменной строилась в основном в связи с проблемой молекулярного иона водорода (см. библиографические указания к § 4 гл. II). Детальное исследование проблемы было проведено Комаровым и Славяновым (1967) и Damburg, Propin (1968а, b). В работе Дамбурга и Пропина используются разложения, предложенные Miiller (1962), однако последний ие обратил внимания на экспоненциальное расщепление собственных значений. В настоящем параграфе использованы построения Комарова и Славянова, Дамбурга и Пропина. Асимптотические формулы для с. р. с. ф. приведены по заметке Славянова (1974).
Асимптотические разложения гиперсфероидальных функций получены в работах Heurtley (1964), Slepian (1964), Вайнштейна (19656), Кузнецова (1970). Частично результаты помещены в обзорной монографии Размахнина и Яковлева (1971), в связи с чем мы сочли возможным не приводить их здесь. Асимптотике в. у. с. ф. и гиперсфе-рондальных функции при нецелом значении т посвящена работа Лося (1969). Литература, посвященная асимптотике сфероидальных функций при больших индексах I и т, приведена в следующем параграфе.
§ 6. Квазиклассическая асимптотика сфероидальных функций
Решения уравнения (1.1) при большом числе нулей ц=1—т собственных функций umi(z) можно представить в достаточно простом и компактном виде, воспользовавшись методом ВКБ (или квазиклассическим приближением), который был развит и получил известность как метод приближенного решения задач квантовой механики (см., например, Хединг (1965), Фреман (1967), Пономарев (1967), Berry, Mount (1972)). Метод ВКБ
