Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Разложения с. у. с. ф. и соответствующих им собственных значений \т1(р) получаются из (4.8) и (4.7) после формальной замены с2-э—р2.
2. Алгебраический подход. Хотя теория возмущений дает возможность решить принципиальные вопросы, связанные с разложением собственных значений im,(c) в ряды по степеням с2, непосредственно коэффициенты [%]к удобнее находить из уравнений типа (3.31) алгебраическим путем. Перепишем уравнение (3.31),частично
87
«обернув» входящие в него цепные дроби:
t-ml (С) = -DZ-m ~
В,_т_2-Хт1(с)-... В0-Хт!(с)
__А1—тС1—т+2__А1— т+2С1—т+4 i дч
(')-¦¦¦ B,_m+t-bml(c)-... ' V-l*>
где коэффициенты Аг, Вг, Ст заданы формулами (3.28). Уравнение (4.14) можно решать итерациями, разлагая входящие в него цепные дроби в ряды по степеням с2 и беря последовательно все большее число членов цепных дробей. Приведем здесь часть известных результатов:
, с4 Г(/ — m — 1) (/ — m) (I + m — 1) (/ + m) _ + 2 [ (2/_3)(2/— 1)3(2/+ 1)
_ (/ — m + 1) (/ — m + 2) (/ + m + 1) (/ + m + 2)
(21+ 1) (21 +3)» (21+ 6)
_ re (4m2 i ч Г (t - w ~ 1) (/ ~ m) (I + m - 1) (I + m) _ V*»1 1 ^ (2/ — 5) (2/ _ 3) (2/ — 1)5 (2/ + 1) (2/ + 3)
_ (I — m + 1) (/ — m + 2) (/ + m + 1) (/ + m + 2) | . (2/ - 1) (21 + 1) (2/ + 3)5 (2/ + 5) (21 + 7) J "1"
+ ceW4 + 0(c10), (4.15)
*™ (C) = ~ 4 C* - + _J_ Ce + cs + О «*«).
(4.16)
Коэффициент [Я] 4 выписан в табл. 3. В табл. 4 приведены численные значения коэффициентов [k]k для нескольких первых значений m и /.
С помощью формулы (4.15) удается вычислить значения Xmi(c) при (1ф0) с точностью не менее трех-четырех знаков. Разложение (4.15) раньше широко использовалось для отыскания kmi(c), однако при современном развитии ЭВМ значительно проще находить непосредственно корни цепной дроби (4.14). При этом вычисленное по (4.15) значение Km (с) берется как начальное приближение.
Обратимся теперь к разложению ib. у. с. ф. по присоединенным полиномам Лежандра (3.15). Отношение
88
Коэффициент [Я]4 разложения (4.15)
Таблица 3
m ,u (l-m-\)(l-m)(l + m-\)(l + m)
[ aj4 z i; |( 2/_ 5)2 (2/ _ 3) (2/ — 1)т (2/ Ч- 1) (21 + З)2
(/ — т + 1) (/ — т + 2) (/ -f т + 1) (/ + т + 2) — (21 - I)2 (2Z + 1) (21 + З)7 (21 + 5) (2/ + 7)2
1 f(/ — /и — 3) (/ — т — 2) (I — т — 1) (/ — т) (I + т — 3) (/ + т — 2) (I + т — 1) (/ + т) + 1б( (2/ — 7) (2/ — 5)2 (2/ — З)3 (2/ — I)4 (2/ + 1)
(/—/и+1) (/—m+2) (/—т+3) (/—m+4) (/+m+l) (l+m+2) (l+m+3) (/+т+4)| ~ (21 + 1) (21 + З)4 (21 + 5)3 (2/ + 7)2 (21 + 9) ) +
J_ [•(/—m+l)2 (/—m+2)2 (/+m+l)2 (/+m+2)2 (/—m —l)2 (/—trif (l+m— l)2 (/+m)2 + 8 ( (2/ + l)2 (21 + 3)7 (2/ + 5)2 — (21 — 3)2 (21 — l)7 (2/ + l)2
1 (/—m—1) (l—m) (/—m+l) (I—m+2) (l+m—I) (l+m) (l+m+\) (l+m+2) + 2 (21 — 3) (2/ — l)4 (21 + l)2 (2/ + 3)4 (21 + 5)
Таблица 4
Численные значения коэффициентов Мз, [Я]4
разложения (4.8)
(по Meixner, Schafke, 1954)
т ([VI.+i)-io8 [VU-108 [VU-108
0 0 33 333 333 — Ц481 481 47 031 1 359
1 60 ООО ООО - 685 714 -6 095 259
2 52 380 952 1 015 009 —47 608 — 1 411
3 51 111 111 329 418 5 960 -265
4 50 649 351 177 505 531 50
1 1 20 ООО ООО -457 143 12 190 —210
2 42*857 143 —388 727 1 442 56
3 46 666 667 136 476 -11 825 213
4 48,051,948 119 024 — 1 315 -56
2 2 14 285 714 — 194 363 3 606 -58
3 33 333 333 — 224 467 1 279 6
4 40 259 740 —21 399 —3 097 60
коэффициентов этого разложения dml(c)ldf!m(c) можно представить в виде ряда по степеням с2. Последовательные члены этого ряда находятся из рекуррентных уравнений (3.19) после подстановки в них разложения для собственных значений Xmi(c). Выпишем, например, уравнения, в которые входит коэффициент df!m(c), и потребуем их выполнения с точностью до величин порядка О (с4):
Ai-mdTlm+2 + (Bi_ffl - М dfim + C,_mdr-im-2 = 0, (4.17)
2du.m 4" (Bl—m—2 — Xmi) df-m_2 4"
+ С,_т_2^т,4 = 0, (4.18)
Al—m+2dl—m+4 4" (5f—m+2 — ^m() dT—m+2 4"
+ C^m+2dTlm = 0. (4.19)
Если подставить в уравнение (4.17) два первых слагаемых разложения (4.15) и выражения (3.20) для коэффициентов Аг, Вг и Сг, то равенство будет выполнено с
90
точностью до О (с4). Из уравнений (4.18) и (4.19) следует, что
&U_ т_2 (с) = с8 2(2/_1)2 (2/ + 1) d'-« (С) "+ 0 (с )» (4-20)
dtm+2 (с) = с2 ^^StoPM-V"0 (С) + °(С4)-
(4.21)
Беря все большее число уравнений рекуррентной системы (3.19) и подставляя в них последовательно коэффициенты [К]к, можно найти отношение коэффициентов dml(c)/dfj_m(c) в виде разложения
df (c)/dflm (с) = Jr~l+m] 2' [d,]k с«. (4.22)
fc=0
I
Ряд по степеням с2 для d/_m(c) находится из нормировки в. у. с. ф. В частности, из интегральной нормировки (1.12) получаем
dTUc)-[^^-m+0(c% (4.23)
Очевидно, что если подставить разложение (4.22) в разложение в. у. с. ф. по присоединенным полиномам Лежандра (3.15), то с точностью до замены порядка суммирования должен получиться ряд теории возмущений (4.7). Таким образом, функции [5(т])]л из (4.7) раскладываются не в бесконечные ряды по присоединенным полиномам Лежандра Pf (т)), а в конечные суммы вида
/—m+2fc
[S(r\)]k=dtm(c) 2' [d,]k Р%+Г(ч\). (4.24)
