Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
- ? [а2 + 11 - 32m2] - jo^r 15 (а* + 26а2 + 21) -
- 384m* (а2 + l)j - i& _ Шл. _ + 0 (5.40)
Здесь величина а определена формулой (5.25). Старшие члены [%]г, [Я,]4 и [Я,]5 асимптотического разложения (5.40) вынесены в табл. 5. В частном случае /=т=0
К ^-_ca.c__L_J-__lL_iE3._ оо \W — о -t-o 4 16с 64ca 2юсз
4425 209 101 . п( 1 \ /с .1Ч
Числовые коэффициенты при степенях с в (5.41) примерно одного порядка, так что последовательные члены
103
Таблица 5
Коэффиицеиты Ш3, [%]t, [Х]5 асимптотического разложения (5.40) собственных значений \mi(c) при c-voo (по Meixner, 1948)
[*], 2-и [(33 о5+1594 о3+5621 о) — 128т*(37 о»+167 о) + +2048 /п«о]
2-16[63о6+4940а«+43 327о"+22 470)— —128 т2(115 а«+1310 о2+735)+6144 т«(а2+1)]
2-20[(527 о7+61 529 о5+1 043 961 о3+2 241 599 о)— —32т2(5739а5+127 550а3±298 951а)+2048т<(355а3+ + 1505а) — 65 536т«о]
ны разложения (5.41) убывают как обратные степени с (порядок убывания членов разложения (5.40) а/с).
Полученная асимптотика в. у. с. ф. позволяет с помощью формулы (2.24) найти асимптотическое выражение для собственных значений \ii(c) интегрального уравнения (2.21) для в. у. с. ф.
ц, (с) = {' У2л~ {l - 2 V™ e~ic [l + О(-i-)]}.(5.42)
Перейдем теперь к построению локальных асимптотических разложений в. у. с. ф. с помощью теории возмущений. Приведем здесь только часть полученных результатов, а метод вычислений проиллюстрируем на одном примере.
Введем три перекрывающихся промежутка изменения г\:
3>1 = [0, тц]. 02 = [Л2»Лз1» 3>t = l*U, 11;
ч2< ч1< ч4< ч85
-1/2+еЛ „
%=0(с Т)3 = 1 - 0 (с
,-2+е, '
44
0 < в1 < 1/2,
\-0{с-2+е'), 1/2<82<3/2!
На промежутке @>\ сдатаем замену независимой переменной /=чУ2с и функции
5mz (С ч) - ^ (с) (1 - л2)т/Ч/ (с. 0- (5-43)
В новых переменных из (5.11) получим уравнение для uml(c, t) вида
Lu(t)--^Mu(t) + ^-u(t)=0, (5.44)
104
где
L = -^--T» Л1 = /!^- + 2(т+1)/4 + т(т+1)
и использовано обозначение (5.5). Представим убывающее при |/|-»-оо решение уравнения (5.44) в виде формального ряда
оо
««1(0 = 0,(0 + 2 li)/(2/(')» (5-45)
где Dq{t) = exp (—12!4) Hq (tfj2) — функции Вебера, a H„(t/~\[2)—полиномы Эрмита. Подставив ряды (5.45) и (5.29) в уравнение (5.44) и приравняв нулю коэффициенты при различных степенях большого параметра с, получим .рекуррентную систему уравнений
1?>,(0 +(9+1/2)0,(0=0, Щ (/) + (/ + 1/2) Q, (0 = MQ^ (t) - i 2kvkQ,„k (/),
k= 1
/=1,2,.., (5.46)
Q0 (t) = Dq(t).
В силу рекуррентных соотношений для функции Вебера результат действия оператора М иа ичх можно свести к следующему:
г=—2
где
V7*=-7<fti-l){4-2) (Я ~ 3), V71 = mq(q- 1), Y° = /n»--1. (2«7» + 2«7 + 3), Yj = -/n, V? = 4 •
Отсюда непосредственно следует, что функции Q,(0 можно представить в виде
<2/(0= 21 Ж?>У+2Л(0-
/™-2/
Тогда из рекуррентной системы (5.46) для функции Qi(t) получается рекуррентная система для
105
коэффициентов Al
2kAi= 2 2svs4-s- 2 A?}sysq+2k~2s, (5.47)
s=l s——2
Al = &ok, A?= О, если \k \ >2/, или k=0, или k<—qf2. Из условия разрешимости системы (5.47) следует, что
24= 2 л*-^_25> v0 = 0,
s=—2
откуда находятся величины vh. Окончательно имеем на промежутке ZD\ следующее асимптотическое разложение в. у. с. ф., нормированных в соответствии с (1.12):
Sm, (с,т)) = К (с) (1 - чТ/2 [ Dt {Г)УЬ) +
+ 2Ш' 2 ALDq+ik{r\V2c)\ (5Л8)
Вычисленные по рекуррентным формулам (5.47) коэффициенты AL при/= 1, 2 и асимптотическое разложение коэффициента k\ (с) приведены в табл. 6. В статье Slepian (1965) вычислен еще один член асимптотического разложения (5.48).
На промежутке <?>2 аналогичным способом можно построить разложение в. у. с. ф. в виде
S«i(с, т)) = *1 (с) К (с) gl/2(1+y)(g+1)/2^x
X
1тУШУ1^тД1+ п
2 ( 2с) 2 [ г*
0 + 0* (l — ?Г
(5.49)
где q—1—т, ?=У1—ту2.
И наконец, на промежутке 25'3 асимптотика в. у. с.ф. может быть представлена в виде
Smt(c, Л) = К (с) К (с) h (с) /т (с?) +
+2 Ш 2 вк да Im+k (с^> (5-50)
106
Таблица 6
4 _2-«
2-'и
AU 2-' mq(q—\)
ли 2-4(9-1) (9-2) (9-3)
л\ 2-9
—2~5m
А\ —2-в(2^+5—4m2)
А\ —2-5m(<?2 — 259 — 36)
2-sm (92 _ 27q — 10) 9 (q — 1)
ли 2-s (2,; _ 3+4m2)9 (9 - 1) (9 - 2) (9 - 3)
ли 2-sm<? (q - 1) (9 - 2) (9 - 3) (9 - 4) (9,- 5)
ли 2-99 (9 - 1) (9 - 2) (9 - 3) (9 - 4) (q - 5) (9 - 6) (9 - 7)
Не) l9!P1/2 {l + - gjp [(9* + 29* + +2392+229+12)-192m (392+39+l)-96m2 (292+29+l)]
где Im(c%)—модифицированная функция Бесселя (см. (5.15)).
Коэффициенты D[, Ei , F{ ,B{ при /=1,2, а также асимптотическое разложение 'нормировочных постоянных k2(c) и k3(c) приведены в табл. 7, 8, 9.
107
Коэффициенты Д? разложения (5.48) и нормировочный коэффициент fc|(c)
Таблица 7 Коэффициенты B'k разложений (5.50) н (5.62)
—(2^+1)
<72+<7+3/2+2т
*\ 2 q2+2 9+3/2
Таблица 8 Коэффициенты D'k, E!k и F!k разложений
(5.49) и (5.63)
D\ 2-1 (1_4 т2)
D\ 2-5(1— 4 т2) (9—4 т2)
D\ 3-2-5(2^+1)(1— 4 т2)
*\ 2-2(<Ж)(<7+2)
ч 2-Б(<7+1)(<;+2) (q+3)(q+4)
-2-*(q2 -5q-8m2)(q+\) (q+2)
п -2~*q{q-\)
п -2-bq(q-\)(q-2) (q-3)
