Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Jctg X cosec X dx = — cosec x.
[Эти интегралы являются частными случаями общего вида интегралов дробно-рациональных функций от cosx и sinx, но для их вычисления не
подобным тому, который был применен в предыдущем пункте, мы можем вычислить
Jp(X, cos ах, sin ах, cos Ъх, sin bx,...) dx, где P—- любой многочлен.
Примеры LH.I.Проинтегрировать х sin х, х2 cos х, xs cos2 х, x2sin2 х sin2 2х, X sin* X cos4 х, X3 sin* — х-
2. Найти такие многочлены PaQ, что
J {(Зх — 1) cos X -f- (1 — 2х) sin х} dx = P cos х + Q sin х.
3. Доказать, что
Jx™ cosx dx= Pn cos X + On sin х>.
где
рл = лдгл-і — „(п — 1)(п — 2)Xя-3 + ..., 0„ = хл — H(H-I)X«-*+....
146. Дробно-рациональные функции от cosx и sinx. Интеграл от любой дробно-рациональной функции от cos х и sin х может
X
быть вычислен подстановкой tg-^- = t. Действительно,
_1—?s . _ It dx __ 2 cosx—-J+^1 smx — dt — l+ti ,
так что интеграл приводится к интегралу от дробно-рациональной функции от t. Но иногда более удобными являются другие подстановки.
Производные и интегралы 261
Yb + a+tYb — a 1п Yb~+a — tYb — а
где t= tg у, причем первое выражение имеет место, если а2 > b2, а второе — если а* < Ь*. Если а* = Ьг, то интеграл приводится либо к интегралу от
X X
sec* 2 , либо к интегралу от cosec2 у, н может быть вычислен сразу. Вывести
выражения для этого интеграла в том случае, когда а + Ь отрицательно. 4. Показать, что если у определено, как функция от х, соотношением
(a + b cos х)(а — b cosy) = а2 — #*,
где а положительно н а* > й2, то когда х изменяется от 0 до я, одно и значений у также изменяется от 0 до Показать также, что
_ Yu1— »ssiny sin X dx_ siny
а — b cosy ' a+b cos X dy a — b cosy
H вывести, что если 0<х<ъ, то
dx 1 Ia cos х + Ь
— -arc cos ' 1
а-4-6 cos л: у~а*—b* \a + bcosx
Показать, что этот результат совпадает с результатом примера 3.
5. Показать, как можно вычислить интеграл от
__1_
a + b cos X + с sin X '
[Выразить b cos х + с sin х в виде У Ьг+с* cos (х — а),]
6. Проинтегрировать
a + b cos X + с sin X а + р cos X + Y sin X '
[Определить X, [j., ч так, чтобы имело место соотношение
a + b cos X + с sin X = X -4- !>• (a + ? cos ¦* + 7 sin *) + v (— ? sin x + Y CQS ¦*)•
Тогда интеграл равен
fax —T-s-і-=-] a + ? cos X + Y sin X 1
7. Проинтегрировать
[
a cos8 X+ 2 /3 cos xsinx+ с s'm*x'
Это выражение может быть представлено в виде
___і:__
A+Bcos2x+Csin2x>
нужна подстановка, так как результаты сразу следуют из п. 120 и уравнения (5) п. 133.]
3. Показать, что интеграл от --г—;-, где а + 6 положительно,
r a + bcosx * 1
может быть выражен в одной из следующих двух форм:
262 Глава шестая
где А = -^- (а 4- с), B= у (я — с), С = 6. Но интеграл может быть вычислен проще подстановкой tgx = *, с помощью которой мы находим, что
Jsec8 X dx__ С dt _ "I
a4-2bigx4-ctg*x ~J a+W + сГ 'J
147. Интегралы от функций, содержащих arc sin дг, arc tgx и In дг.
Интегралы от arc sinx, arc tgx и lnx могут быть легко вычислены интегрированием по частям. Действительно,
Jarc sin X dx =х aresin х — Г _f d.x. ......=х arc si п.v 4-У1 —x2, Jj/l—л*
Jarctgxdx = xarctgx— J pp^j = xarc(gx— -tj In(I -f-x2),
J lnxix = xlnx— Jdx = x (In X— 1).
Вообще мы можем проинтегрировать функцию ср(х), обратную /(х), если мы знаем интеграл от /(х), так как подстановка у =/(х) дает:
J9(у) dy = Jx/' (X) dx = х/(X) - J/(X) rfjf.
Интегралы вида
Jp (х, arc sin х) dx, JP (х, In х) dx,
где P—многочлен, всегда могут быть вычислены. В первом случае, например, мы должны вычислить несколько интегралов вида
Jxm (arc sin х)" dx.
Делая подстановку x = sin.y, получаем:
Jy smmy zosy dy,
а этот интеграл может быть вычислен методом, изложенным в п. 145. Во втором случае мы должны вычислить ряд интегралов вида
Jxm(lnx)"ix.
Интегрируя по частям, находим, что
Jx* (In хГ dx = - ^ J де- (In Xf ¦ 1 dx,
и вычисление может быть доведено до конца повторным применением этой формулы.
Пример, Проинтегрировать х" Jn х, xnIn(I 4-х), Xs arc tgx8 их~п1пх.
(Жз. 1924, 1929, 1934 Xh)
Производные и интегралы
263
P'
148. Площади фигур, ограниченных плоскими кривыми. Одним из наиболее важных приложений процессов интегрирования, изложенных в предыдущих пунктах, является вычисление площадей фигур, ограниченных плоскими кривыми. Допустим, что P0PP' (фиг. 41) представляет собой график непрерывной функции jy = cp(x) и что он целиком лежит над осью х. Пусть P — точка (х, у) и P'— точка (x-\-h, у-\-k), где я может быть и положительным и отрицательным (на чертеже я положительно). Задача состоит в вычислении площади ONPP0.
Понятие „площади" требует весьма тщательного рассмотрения, и мы вернемся к нему еще в гл. VII. Пока же будем считать его известным. Будем предполагать, что всякой такой области как ONPP0 может быть поставлено в соответствие некоторое положительное число, которое
