Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
(3) сходиться абсолютно для всех значений z внутри некоторого круга радиуса R, но не сходиться ни для какого значения z вне этого круга.
В случае (3) круг радиуса R называется кругом сходимости,, а его радиус R — радиусом сходимости степенного ряда.
Следует заметить, что этот общий результат не содержит никакого утверждения относительно поведения степенного ряда на круге сходимости. Приведенные ниже примеры показывают, что здесь действительно могут иметь место самые разнообразные случаи.
Примеры LXXX. 1. Ряд 1 -f-аг -f- аага + ... , где а>0, имеет радиус сходимости, раввый —-. Он не сходится ни в одной точке на круге сходимости, причем он расходится в точке z — ~ и ограниченно колеблется ве>
всех остальных точках окружности., z г2 г8
2. Ряд jx+ 2»+за+ ••• имеет радиус сходимости 1; он сходится абсолютно во всех точках крута сходимости.
3. Вообще, если
I «я I
нли I ап \ i/n -* \ при п —> оэ, то ряд а0 -j- atz -\- aaza -j- ... имеет радиус сходимости - . В нервом случае
hm п+ —-і = X z , і апгп I
что больше или меньше 1 в зависимости от того, будет ли I г I больше из»
меньше —, так что мы можем применить признак Даламбера (см. п. 175, 6)^
Во втором случае мы можем аналогично применить признак Кошта (см. п. 174, 2).
4. Логарифмический ряд. Ряд
1 t , 1 з
2~2г +У*
называется логарифмическим (обоснование этого читатель узнает ниже)~ Из результата примера 3 следует, что его радиус сходимости равен 1.
Сходимость бесконечных рядов и несобственных интегралов 387"
2л+і I _ I т — п \
\ап\ й+1
так что его радиус сходимости равен 1. Мы не будем рассматривать здесь вопрос о его сходимости на круге, так как этот вопрос представляет некоторые трудности
201. Однозначность степенного ряда. Если степенной ряд Y1 anzn сходится для некоторых значений z, отличных от г== 0, и /(г) обозначает его сумму, то
f(z) = a„ + a1z + ... +amzm+o(zm)
при z -+0 для каждого т. Действительно, если ]х — любое положительное число, меньшее радиуса сходимости ряда, то | ап | у." < К, где К не зависит от п (см. п. 199)f следовательно, если |zj<cp, то
т
|/(z)-2avz*!^|«m+1[|zr+1 + IWlUr-2+ ... < о
V-J \ 1 I* ^ "У p™G*-|2i)'
что равно 0(\z}m+1), и тем более о(|г|ш). В частности, это имеет место и для действительных положительных г.
Из результата примера LVI. 1 теперь следует, что если
^anZ" = Zbnz"
дня всех значений г по модулю меньших то ап = Ьп для всех я. Одна и та же функция не может быть представлена двумя разными степенными рядами.
1) Случаи z= \ и г = —1 рассмотрены в п. 222. Полное рассмотрение читатель найдет в книгах: Bromwich, Infinite series, 2nd edition, стр. 287 и сл., Hobson, Plane trigonometry, 5th edition, стр. 268 и сл.
Когда z находится на круге сходимости, мы можем положить г = = cos 9-)-г sin 9, и ряд примет вид
11 11
cos 0 — -g- cos 2 9 + -g- cos 3 9 —...+/ (sin Є — у sin 20 -f у sin 3 9 — .. .)•
Действительная и мнимая части обе сходятся, хотя и неабсолютно, если 0 ие равно нечетному кратному л (см. примеры LXXIX. 3, 4, в которых 9 нужно заменить на 9 -j- я). Если 9 равно нечетному кратному ~, то г = — 1
и ряд—1 — --g--... расходится к —со. Таким образом, логарифмический ряд сходится во всех точках круга сходимости, кроме точки г=—1. 5. Биномиальный ряд. Рассмотрим ряд
1 + т г + Ri^zR г2 + гв + ... .
Если т — положительное целое число, то ряд обрывается. общем случае
¦1.
388
Глава восьмая
202. Умножение рядов. В п. 177 мы видели, что если ? Un и ?vn — два сходящихся ряда с положительными членами, то
2 и„ S Vn = %wn,
где
™п = "0Vn + UlVn-l + • • • + "Л-
Мы можем теперь распространить этот результат на все случаи, в которых ?ип и y>vn сходятся абсолютно. Для этого нужно только заметить, что наше доказательство является простым приложением теоремы Дирихле, которая была уже обобщена нами на все абсолютно сходящиеся ряды.
Примеры LXXXI. 1. Если | z | меньше радиуса сходимости каждого из рядов 2 апгП> S Ьпгп, то произведение этих двух рядов равно ? c„z", где Cn = афп + афп_х A- ... А- а„д0.
2. Если радиус сходимости ряда ^а„гп равен R и сумма ряда при \z\<R обозначена через /(г), то для всех г, для которых | г [ меньше R и меньше 1,
где
sn = o0A-u1A- ... А-ап.
3. Возведя в квадрат ряд для ^ ^_ , доказать, что
1 Л +2г+3га + ... ,
(\-zf если I г I < 1.
4. Аналогично доказать, что —-= * -f-Зг-)-6л2-)- ... , где общим
(I г)
членом является ~ (я Ar 1)(я -\г 2) г".
5. Биномиальная теорема для отрицательного целочисленного показателя. Если I z I < 1 и да — положительное целое число, то
I_і і „, ¦ м С" ¦H).» ¦ і от(от + !)••• (W + « — 1)^ і
(1—г)"1 1.2 4 "Г-••^ 1-2... я
[Предположим справедливость теоремы для всех показателей вплоть до от. Тогда, по примеру 2,
(1_г)я1+1 =2^",
где
S — 1 і т І от(от + 1) і ,..»«(й«-Ь1)...(й1 + Я—1)_
»я —^-t-rn-r- 1>2 •+-•••I ГТ27Г7І
_ (от 4-1) (от 4- 2)... (т Ar я) 1-2...я
