Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
где If1 Cp) и чу*, '(р) должны быть неооходимо такими* рациональными функциями от р с рациональными коэффициентами, которые для вещественных значений р никогда не имеют отрицательного значения. Из последнего квадратного уравнения мы получаем
, _Уа3 + Vi (P)
Теперь по теореме 44 функции Ip1 (р) и W1 Cp) снова должны быть частными сумм квадратов рациональных функций, и с другой стороны, согласно предыдущему, выражение /2 допускает построение с помощью линейки и эталона длины; найденное для f2 выражение показывает, следовательно, что f., есть частное сумм квадратов функций, допускающих построение. Следовательно, и выражение j//2 тоже допускает построение с помощью линейки и эталона длины.
Так же как выражение f2 и каждая другая рациональная функция <p2(p,\^fi) от /) и уТі тоже оказывается частным двух сумм квадратов функций, допускающих построение, коль скоро эта рациональная функция Ip2 обладает свойством никогда не принимать отрицательных значений, при вещественном параметре р и для двоякого знака при |/f\ .
Это замечание позволяет нам продолжать только что начатые рассуждения следующим образом:
Пусть /3 Cp, у/f\, т//\.) есть такое выражение, которое зависит рационально от трех аргументов р т/f\, і/f2,n из которого мы должны извлечь квадратный корень в третью очередь при аналитическом вычислении координат искомых точек. Как и . прежде мы заключаем, что /3 при любых вещественных значениях р и для обоих знаков у г/f\ и у r/f2 никогда не может принять отрица-
§ 39. Критерий выполнимости геометрических построений.
103
тельного значения; это обстоятельство снова показывает, что /3 должно удовлетворять квадратному уравнению вида:
/з2 —УаО'. l/7'i) f*+Vz(P» l//'i)=0,
где (f2 и ч'.2 означают такие рациональные функции от р и 1/fx, которые не способны принять отрицательных значений для вещественных значений р и для любого из двух знаков у |//,. Так как вместе с тем <f2 и ц\,, по сделанному раньше замечанию, суть частные двух сумм квадратов, допускающих построение выражений, то тоже самое имеет место и для выражения
?= (lh, Vf і)
а, следовательно, и i//g тоже допускает построение с помощью линейки и эталона длины.
Продолжение этих рассуждений приводит к доказательству теоремы 45 в рассматриваемом случае одного параметра р.
Имеет ли место теорема 45 в общем случае зависит от того, может ли теорема 44 быть обобщена соответствующим образом на случай многих переменных.
Как пример на приложение теоремы 45 могут служить правильные многоугольники, допускающие построение с помощью циркуля: в этом случае не входит произвольный параметр р, но все долженствующие быть построенными выражения представляют алгебраические числа. Легко усмотреть, что критерий теоремы 45 выполнен в этом случае, и поэтому оказывается, что эти правильные многоугольники могут быть также построены исключительно с помощью проведения прямых и откладывания отрезков—результат, который может быть получен и непосредственно из теории деления окр^шости.
'Что касается других задач на построение, известных из элементарной геометрии, то упомянем здесь только, что задача Мальфатти— но не задача Аполлония о касании—может быть решена с помощью одной только линейки и эталона длины *) '-).
*) Относительно дальнейших геометрических построений с помощью линейки и эталона длины см. M Feldblum—„Uberelementargeometrische Konstruktionen, Inauguraldissertation, Gottingen, 1899.
104 Глава VII. Геометрические построения на основе аксиом I—IV.
Заключение.
Настоящая работа есть критическое, исследование начал геометрии; в этом исследовании нами руководил принцип разобрать каждый являющийся вопрос таким образом, чтобы при этом исследовать . возможен ли ответ на него на некотором указанном пути с определенными ограниченными вспомогательными средствами. Этот принцип кажется мне содержащим вполне общее и естественное правило; действительно, если в математическом исследовании встречаем какую-либо задачу или предполагаем справедливость некоторой теоремы, наше стремление к познанию удовлетворено только тогда, если нам удается полное решение задачи и строгое доказательство этой теоремы, или если нами ясно осознана причина невозможности удачи и, следовательно, вместе с тем необходимость неудачи.
Поэтому-то в новой математике вопрос о невозможности известных решений или задач играет выдающуюся роль, и стремление ответить на некоторый вопрос такого рода было часто причиной открытия новых и плодотворных областей исследования. Мы напомним только данное Абелем доказательство невозможности решения уравнения пятой степени в радикалах, далее выяснение недоказуемости аксиомы параллельности и еще теоремы Эрмнта и Линде манна о невозможности построения чисел с и л алгебраическим путем.
Принцип, по которому мы должны всегда исследовать основания возможности доказательства, теснейшим образом связан с требованием „чистоты" методов доказательств, каковое энергично выдвигается многими математиками. Это требование есть в сущности не что иное как субъективное выражение соблюдавшегося нами принципа. Действительно настоящее геометрическое исследование стремится дать общее разъяснение того, какие аксиомы, предположен!-я или вспомогательные средства необходимы для доказательства некоторой истины элементарной агеометрии, и затем в каждом данном случае остается взвесить, какой метод доказательства с только что принятой точки зрения должен быть предпочтен.
