Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Мы приходим таким образом к следующему результату:
Теорема 41. Те геометрические задачи на построение, которые разрешимы если положить в основу аксиомы I — IV, могут быть выполнены наверно с по-
мощью линейки и эталона длины.
Доказательство. Чтобы решить задачу 4, соединяем данную точку P (чгрт. 51) с произвольной точкой А данной прямой а и откладываем от А на а с помощью эталона длины два раза
Черт один за другим единичный отре-
зок, например, до Б и С. Пусть теперь D есть какая-нибудь точка на АР, далее PJ точка встречи CP и BP, и, наконец, F точка встречи AE и CD; тогда по Штейнеру PF есть искомая параллельная к й.
Задача 5-ая решается следующим образом: пусть А (черт. 52) некоторая произвольная точка данной прямой; откладываем тогда на этой прямой по обе стороны от точки А с помощью эталона длины единичные отрезки AB и AC и определим потом на двух других произвольных прямых, проходящих через А, точки EkD
*) Что здесь достаточно требования возможности отложения лишь для одного единственного отрезка замечено J. Kurschaк'ом; ср. его статью „Das Streckenabtragen* [Math. Ann. Bd. 55, 1902].
§ 36. Геометрические построения.
95
так, чтобы и отрезки AD и AE равнялись единичному отрезку.
Пусть прямые BD и CE пересекаются
в F, прямые BE и CD — в Н; тогда у
EH есть искомый перпендикуляр. /
Действительно: углы BDC и /
ВЕС, как углы вписанные в полу- J)/ окружность на ВС, прямые, Угч
и поэтому — на основании / \ >v
теоремы о пересече- / \ **ч
нии высот треуголь- / ^'
ника, примененной к — \уг
FH перпендикулярна к ВС.
В
А
Черт. 52.
Мы можем теперь легко решить и задачу 3 с помощью только одной линейки и эталона длины; изберем, напр., следующий прием, который
требует только проведения параллельных и опускания перпендикуляров. Пусть ? (ч-рт. 53) есть откладываемый угол и А вершина этого угла. Мы проводим прямую I (АС) через А параллельно к данной прямой, при которой должен быть отложен данный угол 8. Из произвольной точки В одной из сторон угла ? опускаем перпендикуляры на другую сторону угла ? и на I. Пусть основания этих перпендикуляров будут D и С. Опускание перпендикуляров совершается в силу задач 2 и 5. Затем из точки А опускаем перпендикуляр на CD, и пусть его основание будет Е. На основании доказательства, приведенного в § 14 стр. 35, ?_САЕ= ?; следовательно, задача 3 решена.
Наконец, для решения задачи 2, пользуемся простым построением, предложенным J. Kurschак'ом: пусть AB (черт. 54) отрезок, который следует отложить, и точка P — данная точка на данной прямой I. Проводим через P параллельную к AB и откладываем
Черт. 53.
96 Глава VII. Геометрические построения на основе аксиом I—IV.
на ней с помощью эталона длины от точки P единичный отрезок,
примерно до С; далее на прямой I откладываем от P единичный отрезок до точки D. Пусть параллельная к АР, проведенная через В, встречает PC в Q, и пусть параллельная к CD, проведенная через Q, встречает прямую I в Е; тогда PE= АН.
Этим показано, что задачи 1 — 5 разрешимы все с помощью линейки и эталона длины, и теорема 41, следовательно,, вполне доказана.
§ 37.
Аналитическое представление координат точек, которые могут быть построены.
Сверх элементарных геометрических задач, рассмотренных в § 36. существует еще длинный ряд других задач, для решения которых необходимо только проведение прямых и откладывание отрезков. Чтобы быть в состоянии обозреть область всех разрешимых подобным образом задач, мы в дальнейшем исследовании кладем в основу некоторую прямоугольную координатную систему и координаты точек представляем себе обыкновенным приемом или как вещественные числа, или как функции некоторых произвольных параметров. Чтобы ответить на вопрос о совокупности всех построимых точек мы прибегнем к следующему рассуждению:
Пусть дана система некоторых определенных точек; из координат этих точек мы составляем область В; она содержит некоторые вещественные числа и некоторые произвольные параметры р. Вообразим себе теперь совокупность всех тех точек, которые могут быть построены из данной системы точек проведением прямых и откладыванием отрезков. Пусть область, которая будет образована координатами этих точек, называетсяQ (R); она будет заключать некоторые вещественные числа и функции произвольных параметров р.
§ 37. Аналитическое представление координат точек. 97
Наши рассуждения в § 17 показывают, что проведение прямых и параллельных сводится аналитически к применению сложения, умножения, вычитания, деления отрезков; далее известная, данная в § 9, формула для вращения показывает, что откладывание отрезков на произвольной прямой не требует никакой другой аналитической операции, кроме извлечения квадратного корня из суммы двух квадратов, основания которых уже построены. Обратно, на основании теоремы Пифагора всегда можно с помощью прямоугольного треугольника путем откладывания отрезков построить квадратный корень из суммы квадратов двух отрезков.
