Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Четвертая группа содержит только постулат Евклида.
Пятая группа заключает две аксиомы; первая и наиболее важная есть аксиома Архимеда.
Пусть даны две произвольные точки А и В на прямой D; пусть а есть некоторый отрезок; построим на D, начиная от точки А и в направлени AB, ряд отрезков равных между собою и равных a: AA1, A1A2,..., A11-1J11; всегда можно п взять настолько большим, чтобы точка В пришлась на один из этих отрезков.
Отчет о работах Д. Гильберта. 113
Гильберт. Основания геометрии. ^
Это значит, что, если даны две произвольные длины Z и l, всегда можно найти целое число п настолько большое, чтобы, складывая п дез длину i самое с собою, получить в сумме длину большую чем l.
Вторая—есть аксиома der Vollstandigkeit (аксиома полноты), смысл которой я выясню далее.
Независимость аксиом. После того как список аксиом составлен, нужно убедиться в том, свободен ли он от противоречий. Мы знаем, что это так, потому что геометрия существует: и Гильберт сначала ответил утвердительно построением геометрии. Но— странная вещь—эта геометрия не совсем наша, ее пространство не наше или, по крайней мере, оно только часть нашего. В пространстве Гильберта нет всех точек, которые имеются в нашем, 'но только те, которые можно, исходя из двух данных точек, построить с помощью линейки и циркуля. В этом пространстве, например, не было бы угла, вообще говоря, равного трети данного угла.
Я думаю, что гакая концепция показалась бы Евклиду более разумной, чем наша. Во всяком случае, однако, она—не наша. Чтобы снова получить нашу геометрию, нужно было бы прибавить одну аксиому. v
•Если на прямой существуют два бесконечных множества точек
A1, A2,.....I«,--- B1, B2... В »• ¦ • таких, что B4 заключается
между A1, и Bq—i, и A1, заключается между B4 и Ае х каковы бы ни были р и q, то на этой прямой существует, по крайней мере, одна точка <\ которая лежит между A11 и Bq, каковы бы ни были р и </".
* Во втором издании Гильберт пожелал пополнить свой список так, чтобы нритти к нашей геометрии и именно к ней, а не к какой-либо другой. Но вместо аксиомы, которую мы только что привели, он предпочел ввести аксиому der Vollstandigkeit (аксиому полноты), которую он формулировал следующим образом:
„К системе точек, прямых и плоскостей невозможно присоединить другую систему вещей так, чтобы полная система удовлетворяла бы всем прочим аксиомам".
Тогда ясно, что пространство, о котором я только что говорил, и которое не содержит всех точек нашего пространства, не удо-
114
А. Пуанкаре.
влетворяет этой новой аксиоме, потому что к нему можно присоединить все те точки нашего пространства, которые в нем не заключались, и оно не перестанет удовлетворять всем аксиомам.
Существует, таким образом, бесконечное множество геометрий, которые удовлетворяют всем аксиомам, кроме аксиомы полноты, но только одна из них,. а именно наша, удовлетворяет сверх прочих и этой последней аксиоме.
Должно спросить себя затем, независимы ли аксиомы, то есть можно ли пожертвовать одною из пяти групп, сохранив четыре остальных, и получить, несмотря на то, логически связанную геометрию. Так, отбрасывая группу IV (постулат Евклида), получаем неевклидову геометрию Лобачевского.
Можно равным образом отбросить группу III. Гильберту удалось сохранить группы I1 II, IV и V также, как две подгруппы метрических аксиом для отрезков и углов, отказавшись от метрической аксиомы для треугольников, т. е. от предложения III 5.
Вот как он этого достигает: для простоты будем рассматривать плоскую геометрию, и пусть P есть плоскость, в которой мы оперируем: мы сохраним за словами точки и прямые их обычное значение; точно также сохраним и для углов их обычное измерение, но поступим иначе с длинами. Длины, по ощшделению, будут измеряться своею проекциею на плоскость Q, отличную от Р, сохраняя для проекции ее обычное измерение. Ясно, что все аксиомы, за исключением метрических аксиом, остаются в силе. Метрические" аксиомы для углов равным образом сохраняются без изменения, ибо мы ничего не изменяем в измерении углов; остаются верными и аксиомы для отрезков, потому что каждый отрезок плоскости P измеряется другим отрезком — его проекциею на плоскость Q, а этот последний отрезок измеряется обычным образом. Напротив, предложения о равенстве треугольников, напр., аксиома III 5, уже оказываются неверными. Это решение удовлетворяет меня только наполовину; углы были определены независимо от длин, при чем не было обращено внимания на то, чтобы согласовать эти два определения (вернее их намеренно сделали несогласованными). Достаточно изменить одно из двух определений для юго, чтобы притти снова к классической геометрии. Я предпочел бы дать длинам такое определение, при котором было бы невозможно найти определение
Отчет о работах Д. Гнльбертл.
115
углов, удовлетворяющее метрическим аксиомам для углов и треугольников. Это к тому же не трудно было бы сделать.
Гильберту было бы легко построить геометрию, в которой были бы опущены аксиомы порядка, между тем, как все другие были бы сохранены. Или, вернее, такая геометрия уже существует или, еще вернее, существуют уже две таких геометрии. Есть, во-первых, геометрия Риманна, в которой, правда, отброшен и постулат Евклида (группа IV), так как в ней сумма углов треугольника более двух прямых. Чтобы яснее дать понять мою мысль, я ограничусь рассмотрением геометрии двух измерений. Геометрия Риманна для двух измерений есть не что иное, как сферическая геометрия, при одном, однако, условии: две точки сферы, диаметрально противоположные, не должны быть рассматриваемы, как различные. Элементами этой геометрии будут различные диаметры сферы. Но ведь, если мы рассматриваем три диаметра одной и той же сферы, расположенные в одной диаметральной плоскости, то ни про один из них нет никаких оснований сказать, что он находится между двумя другими. Слово между не имеет больше смысла, и аксиомы порядка исчезают сами собой.
