Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть теперь дана некоторая плоская геометрия, в которой имеют место все аксиомы I I—3, П — V; согласно гл. III § 17, мы можем тогда с помощью прямоугольного креста осей отнести каждой точке пару чисел (х, у) и каждой прямой отношение трех чисел (и: с: ю); при этом х, у, и и, г\ w с_уть непременно веществен ные числа, из которых и, v не могут обратиться в нуль одновременно, и условие инцидентности точки и прямой
их -f- vy A- w = О представляет уравнение в обычном смысле.
С другой стороны в случае, если х, у, и, v, 10 суть в частности числа построенной в § 9 алгебраической области Q, и и, v не обращаются одновременно в нуль, можно предположить, что и обратно пара чисел {х, у) и тройка чисел (м, v, w) дают соответственно некоторую точку и некоторую прямую в предложенной геометрии.
Если мы таким образом для всех точек и прямых, появляющихся в произвольной плоскостной теореме о точках пересечения, введем
92
Глава VI. Теорема Паскаля.
соответствующие пары и тройки чисел, то эта теорема о точках пересечения будет означать, что некоторое определенное, рационально зависящее от некоторых параметров J)1, . . . ,j)r, выражение A (P1, . . , 2К) с вещественными коэффициентами всегда обращается в нуль, как только вместо этих параметров подставим в частности какие-либо числа рассмотренной в § 9 области Q. Мы заключаем отсюда, что выражение A Q)1, . . . , р,) должно тождественно обращаться в нуль на основании правил счета 7—12 из § 13.
Так как в рассматриваемой геометрии, на основании § 22, имеет место теорема Дезарга, то мы можем, конечно, воспользоватьси и введенным в § 24 исчислением, и, вследствие применимости теоремы Паскаля, для этого исчисления отрезков имеет место и коммутативный закон умножения, так что в этом исчислении отрезков выполняются все правила счета 7—12 из § 13.
Выбирая оси употреблявшегося доселе осевого креста, как оси нового исчисления отрезков, и намечая подходящим образом единичные точки E и E', мы убедимся в совпадении нового исчисления отрезков с ранее данным исчислением координат.
Для того, чтобы показать в новом исчислении отрезков тождественное обращение в нуль выражения А (ри . . . , рг), достаточно применить только теоремы Дезарга и Паскаля, и таким образом мы убеждаемся в том, что каждую теорему о точках пересечения, имеющую место в рассматриваемой геометрии, с помощью построения подходящих вспомогательных точек и вспомогательных прямых, всегда должно представить как некоторую комбинацию теорем Дезарга и Паскаля. Для доказательства справедливости теоремы о точках пересечения нет поэтому необходимости прибегать к помощи предложений о конгруэнтности *).
*) G. Hessenberg [„Beweis des Desarguesschen Satzes aus d. Paskaischen" Mat. An. Bd. 61] •") выяснил, что теорема Дезарга может быть выведева из теоремы Паскаля и без употребления аксиом конгруэнтности и непрерывности. С помощью этого результата, из доказанного в тексте можно вывести, как на это указывает G. Hessenberg [см. там стр. 162], замечательное предложение, что каждая теорема о точках пересечения может быть доказана исключительно на основании теоремы Паскаля, без обращения к аксиомам конгруэнтности и непрерывности.
Глава VII.
Геометрические построения на основе аксиом I—IV.
§ 36.
Геометрические построения с помощью линейки и эталона длины.
Пусть дана некоторая пространственная геометрия, в которой имеют место все аксиомы I — IV; для простоты мы будем рассматривать в этой главе только некоторую плоскую геометрию, заключающуюся в этой пространственной геометрии, и остановимся на исследовании вопроса, какие элементарные задачи на построение наверно выполнимы в такой геометрии [предположив подходящие практические вспомогательные средства].
На основании аксиом I всегда возможно решение следующей задачи:
Задача 1. Соединить две точки прямою и найти точку пересечения двух прямых в случае, если эти прямые непараллельны.
На основе аксиом группы II не разрешимы никакие новые задачи. На основании аксиом конгруэнтности III возможно отложение отрезков и углов, т. е. в рассматриваемой геометрии возможно решение следующих задач:
Задача 2. Отложить данный отрезок на данной прямой от некоторой точки.
Задача 3. Данный угол отложить при данной прямой или построить прямую, пересекающую данную прямую под данным углом.
Аксиома IV делает возможным решение следующей задачи:
Задача 4. Через данную точку провести параллельную к данной прямой
¦94 Глава VII. Геометрические построения на основе аксиом I—IV.
Вместе с тем мы видим, что, если положить в основу аксиомы I-—IV, разрешимы все те и только те задачи на построение, которые могут быть сведены к вышеприведенным задачам I — 4.
Мы присоединяем к основным задачам 1 — 4 еще следующую:
Задача 5. К данной прямой провести перпендикуляр.
Усматриваем непосредственно, что эта задача 5 может быть различными способами решена с помощью задач 1—4.
Для ргшения задачи 1 мы нуждаемся в линейке. Для решения задач 2—5 достаточно, как дальше будет показано, кроме линейки пользоваться эталоном длины (Eichmass), инструментом, который позволяет откладывать один единственный *) определенный отрезок, например, отрезок-единицу.
