Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
X
о v '
т. е.
Формула (11) для значения а = -^- и была фактически получена Абелем при решении уравнения (9).
2. Многие специальные функции могут быть выражены как производные дробного порядка от элементарных функций. Для гипергеометрической функции *) существуют два таких выражения. Гипергеометрическая функция F (а, В, т; х) определяется при Re7>ReB>0 и |л;|<1 как интеграл следующего вида:
1 ;
F(a, В, Т; х) = г (р)Гг(^_р) /f-l(l-y-'-\l-txy'dt. (12)
о
При остальных значениях В, т (у Ф 0, —1, —2, . . .) и | jc | < 1 она определяется как аналитическое продолже-
*) См. Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц, Курс, т. II, 1948, п. 495, стр. 793.
5] § 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 153
Г(Т) r ' dxp-4 г(р>
Tr)
Таким образом, функция j-/ < F (а* ?• Т> х) является про-
х*-1(\—х)-Л
изводной порядка р— у от функции -Т~Щ-* °
можно записать также в виде формулы
д-т-1 х"1'^'1 хр-1(1_х)~а
ШР(*. р.т: ^т^гр* + Г(р) + • (15>
Другое выражение для гипергеометрической функции в виде производной дробного порядка. получается, если
сделать в интеграле (12) подстановку w = Х^__ ^ - Мы получаем, что F(<x, р, т; *) =
Г<Р)Г(Т —в)*!-1/
Иными словами, Г(т)
Сравнивая формулы (14) и (17), мы получаем известную формулу
F(a, р, Т; *)=(! — *)T-a-3.F(T— a, т— р, Т; х). (18)
ние, т. е. как регуляризация этого интеграла (см. § 3, п. 8). Сделаем в этом интеграле подстановку w — tx. Мы получим:
F(a, р, г. х) —
Г(Р)Г(Т-р)хТ-1 J
эту формулу можно записать в следующем виде: xf-1 d?~i fx?-1 (1 — х)Та \
154 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
xt+
-1
=-Г(т + 5) 8_г f w^-'Fia, 8, T; x)(x — wf~xdw
= Г(7 + ») F (*' T + S; ^ (20)
Если изобразить это равенство в интегральной форме, то мы получаем:
F(a, В, T-f-8; х) = г (т 4- 5)
Г(Т)Г(В)^+Й-1
^Т^ш!™т_1(1—«^"^(«.Р. Т. **0Л». (21) о
Эта формула верна при всех значениях а, В, у, 5, если понимать интеграл в правой части равенства как регуляризован-ное значение интеграла (§ 3, п. 8).
Представления (14) и (17) гипергеометрической функции в виде производной дробного порядка позволяют установить случаи, в которых эта функция является многочленом или же
многочленом, умноженным на (1—х)р.
Пусть В — отрицательное целое число или нуль, 8 = — k.
Тогда f-щ — 8№) (х). Следовательно, формула (14) принимает вид
^^W^ = ?Й - *) - ^ (х)]. (22)
Любопытные соотношения для гипергеометрической функции вытекают из равенства (5), т. е. из формулы
Возьме'м от равенства (14) производную порядка — 8. Мы получим, что
Л=» U>'<"• Р- Г- *)J-sff. [ lm J ~
5]
§ 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
155
Но функция*) (1—х) " 8(А)(лт) является линейной комбинацией S-функции и ее производных:
(1 _*)-= № LTW1 S(ft_r)(23)
По формуле (7)
Лс-*-т16 wJ-r(r + T)'
Внося выражение для (1—х)~а S(ft) (дг) в формулу (22), вы-
xi-1
полняя дифференцирование и сокращая на jr^y, мы получаем:
-k, у; *)=2(- l)rC?r(?j;)r) Г ? + (24)
(при этом у не должно быть целым отрицательным числом или нулем). Многочлен F (а,—я, у; лг) называется многочленом Якоби и обозначается G(a, —re, у; дг). Из формул (18) и (24) вытекает, что в случае, когда у— р является целым отрицательным числом или нулем, у— р =— га, гипергеометрическая функция принимает следующий вид:
F(a, у-4-га, 7; Jf) = (l—х)~а~п О (j — а, —га, у; дг).
Из равенства F (а, р, у; д:)=.Р(р, а, у; дг) вытекают аналогичные утверждения для случаев, когда а или у — a являются целыми отрицательными числами или нулями.
Рассмотрим теперь гипергеометрическую функцию как функцию от у. Из равенства (14) видно, что эта функция может иметь особенность, если у является целым отрицательным числом или нулем. Функция Г (у) имеет при у = — п
полюс с вычетом -—~—. Если а или В также являются целыми
*) Очевидно, что такое произведение определено: так как S^(jc) сосредоточено в нуле, то (1—л:)-" можно заменить бесконечно дифференцируемой функцией, равной (1—х)~а в окрестности нуля.
156 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
отрицательными числами или нулями, например В = — т, причем т < п, то, согласно сказанному выше, гипергеометрическая функция вырождается в многочлен. Если же это условие не выполняется, то гипергеометрическая функция, рассматриваемая как функция от т, имеет полюс с вычетом
'<— 1)пхп+1 d*+n {х^-1(\ — х)1л^_
. (25)
п\ dx^+n \ Г ф)
_ (— l)nxn+1 dn+1T(a, р, 1; х)
nl dxn+1
Рассмотрим теперь бесселевы функции *) и покажем, что функцию up/2Jp(yи) также можно представить производной дробного порядка от элементарной функции. Функция Jp(z) имеет при Re/?> — ~ следующее интегральное представление:
2(4)* i
jp (*) = —/—Чт- / (1 — **f 2 cos zt dt- (26>
Для остальных p этот интеграл можно понимать в регуля-ризованном смысле. Полагая здесь zt = w, мы получаем:
