Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
То частное решение задачи Коши, которое обращается при t = 0 в 8 (jc), называется фундаментальным решением этой задачи и обозначается через E(x,t). Для уравнения
144 гл. i. простейшие свойства оёое-щённЫх функций (4
1 --
теплопроводности им является функция --у._ е if . Если
известно фундаментальное решение, то решение задачи Коши с начальным условием и0(х)— в предположении, что функционал Uo(x) финитен — можно выразить сверткой
и (х, t) = E (х, t) ¦# uQ (х). Действительно, мы имеем, с одной стороны, при t > О
= ^\Е (х, О * а0 (х)] —р(±уЕ (х, 0 * и0 (x)J = = ^%J1^u0(x) — P^E(x. 0*Ho(*) =
с другой стороны,
lim и (х, t) = [ lim Е (х, t)\ ¦# а0 (х) = 8 (х) -х- щ (х) = и0 (х),
что и утверждается.
Можно рассмотреть и более общий случай линейного уравнения
р(т- аг)в<*-'> = ° (5>
некоторого, например т-го, порядка по t, также с постоянными коэффициентами. Задача Коши здесь состоит в том, чтобы найти решение и (х, t) уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям:
. . ди(х, 0) , . дт~х (х,0) , .
«(х, 0) = и0(х). —^—'- = Ul(x), .... -^-L = um-i(x).
(6)
Фундаментальным решением уравнения (5) называется решение Е(х, t), удовлетворяющее начальным условиям
Е(х 0) = 0 дЕ{Х'0) = 0 <^-2>?(х,0)
(7)
4] § 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 145
в(х. 0>«0.^=0.....??g^ = 0.
д™~1а(х, 0) (
(8)
df
можно записать в виде
и(х, t) = E(x, 0*an_i(4 (9)
Эта формула годится и для любой ит_1(х), если финитно фундаментальное решение Е(х, t).
Действительно, построенная функция и(х, t), с одной стороны, есть решение уравнения (5), поскольку дифференциальный оператор р{^> ~§х^} можно отнести к Е(х, г); далее, при /—>0 мы имеем:
а(х, t)-*E(x, 0) * ит_1 (х) — 0, ди (х, t) дЕ (х, 0)
dt dt
дт-хи(х, t) d™~lE (х, 0) dtm~l ~^ df
m-l *"-*<m-i * am-X (X) = "m-i (*).
Пример. Рассмотрим уравнение струны
d^a d*a . . ¦ . ,..ч
-ы*=ш ( —°°<*<°°) (Ю)
и покажем, что фундаментальным решением задачи Коши для этого уравнения служит функция
j \- при |*|<*. Е(х, t)=\
(О при \х | > г.
Действительно, при фиксированном t > 0 мы имеем:
*^^ = 1о(*4-о-|5(*-0, 0 = т ь'(*+^ - ть' <¦* - *>'
Если обобщенная функция ит_1(х) финитна, то решение задачи Коши для уравнения (5) с начальными условиями
Ю Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, аып. 1
146 гл. I. простейшие свойства обобщенных функций [4
а при фиксированном х, дифференцируя Е (х, t) по параметру t, находим:
a-^=Ts'<*+'>-T8'<*-о-}
так что уравнение (10) удовлетворяется.
Далее, устремляя в формуле (11) t к нулю, получаем:
дЕ (х, О
dt
= 8(*).
так что удовлетворяется и начальное условие, определяющее фундаментальное решение задачи Коши (очевидно, что сама Е(х, t) при t—>0 имеет пределом 0).
Отсюда получаем формулу решения задачи Коши для уравнения струны (10) с начальными условиями
«(*. 0) = 0. Щ^-=иЛх).
Согласно формуле (9) мы имеем (считая их(х) локально интегрируемой функцией)
со
и(х, t) = E(x, t)*ul(x) = У E(^,t)ai(x^—?)tf? =
— со
t CD+t
= тг f (¦* — 5) d\ = j J Bi (tj) Л|.
x — t
В данном случае фундаментальное решение Е(х, t) — финитная функция; поэтому свертка Е(х, t)-& at (х) существует для любой обобщенной функции ut(x).
Теперь можно перейти к самому общему случаю, когда заданы функции
а(х, 0) = и0(х), да (х, 0) дт-1и(х,0) _ .
-Ш-—Их (Л),,.., -^ГТ--и_,_4
и все они финитны (если финитно фундаментальное решение Е(х, t), то последнее условие можно отбросить). Для этого
4] § 5. свертка обобщенных функций 147
дка (х, 0) dt*
= 0 (k = 0, 1, 2, .... т — 2),
лт — 1
а (х, 0)
dt
т — 1
= -m-i(*)»
то функция at (х, t) — ~gf удовлетворяет тому же уравнению и начальным условиям, в которых отличны от нуля дт~^ах (х, 0) дт-хи1 (xj))
dtm~2 dt71
решение и2(х, t), удовлетворяющее условиям
только -aJi-2 и -A*m-i • Вычитая из ах(х, t)
д*щ {х 0) ___ q (л=0, 1, 2____, т — 2),
а"1-1^^, о) = дт~1ц1 (х, 0)
dtm-i dtm-i
мы получим решение и3, у которого при г = 0 отлична
от нуля только производная —;^пг' причем она равна
заданной функции ит_2(х). Аналогично при любом ft^m—1 можно получить решение, у которого при t = Q из первых т—1 производных по t отлична от нуля и равна заданной
функции ик(х) только производная Сумма построен-
ных частных решений дает решение общей задачи.
Решение задачи Коши для уравнения струны (10) при общих начальных данных
и(х, 0) = и0(*), -а"(? 0> =gl(X) (12)
получается по этому методу следующим образом. Находим решение ux(xt t), отвечающее начальным условиям
, пч л дих (х, 0) , .
их(х, 0) = 0, ^ =°о (*)•
заметим, что если а—решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
10*
148 гл. i. простейшие свойства обобщенных функций [5
По доказанному, оно имеет вид
