Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
131
Заметим, что г-21*-11 не есть значение обобщенной функции гк при Х =—2k—я (последняя функция имеет полюс при этом значении X), а значение при Х = —2k — п главной части лоранова разложения гх.
В приведенных выше разложениях обобщенная функция ГК \пк г является присоединенной функцией степени \\ и порядка k, а г~2к~п lnm г — присоединенной функцией степени —2k — я и порядка т.
§ 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В классическом анализе часто используется операция свертки двух функций f(x) и g(x):
/(*)*?(*) = ff<?)g(x — S)dt. (1)
В анализе обобщенных функций аналогичная операция имеет, пожалуй, еще более существенное значение.
Определение операции свертки в области обобщенных функций опирается на понятие прямого произведения обобщенных функций. Поэтому мы начинаем с описания прямых произведений (п. 1). В остальных пунктах этого параграфа будет введена и изучена операция свертки и будут указаны примеры ее применения.
1. Прямое произведение обобщенных функций. Пусть даны обобщенная функция /(х), определенная - на пространстве Хк основных функций от k независимых переменных xt, х2, хк, и обобщенная функция g(y), определенная
на пространстве Ym основных функций от т независимых переменных уъ у2, .... ут. С помощью этих обобщенных функций мы определим обобщенную функцию h(z) на пространстве Zw основных функций от n = k~\-m независимых
переменных zl = x1, z2 = х2..... zk — хк, zJc+l=yx,
zk+2=y2, .... zn =ym. Для этого поступим следующим образом. Основную функцию ср (х) будем обозначать теперь через ср(х, у). Зафиксируем х и рассмотрим ср(лг, у) как функцию только от у. Очевидно, это основная функция в пространстве Ym. Применим к ней функционал g(y)\ в результате получим некоторую функцию ф (л:). Эта функция
132 ГЛ. 1. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОВОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ (1
Axj
=^су).--;-Ч*о». -^—)
<р (x + Ах,, у) — <р (х, у)
в силу того, что последовательность--
д<? (х, у) 3
сходится к ^ в смысле сходимости в пространстве Ут
и функционал g"(y) непрерывен. Очевидно также, что функция ^(х) финитна. Таким образом, <^(х) — основная функция в пространстве Хк, и к ней можно применять функционал /(х). Итак, выражение
(/(*). (g(y). 9(х- У))) (2)
имеет смысл. Это некоторый функционал на пространстве Zn; из непрерывности функционалов g(y) и f(x) можно вывести, что этот функционал непрерывен *). Мы обозначим его через h (z) = f(x) X g(y) и назовем прямим произведением функционала /(х) на функционал g(y).
*) Пусть последовательность функций <pv (х, у) стремится к нулю в пространстве Zn; нам нужно показать, что числа
(fix), (g(y), <pv(x. у)))
стремятся к нулю. Для этого достаточно показать, что функции фч (х) = (g (у), <рч (х, у)) остаются равными нулю вне одной и той же ограниченной области и равномерно сходятся к нулю вместе со всеми производными. Первое — Очевидно, поскольку <pv (х, у) равны нулю вне фиксированной области в пространстве переменных хъ • • ¦ > Ут- Допустим, что ф„ (х) не сходятся равномерно к нулю. Это означает, что для некоторого е>0 найдется последовательность точек х^\ х^, ... такая, что
I Ф» I = I (g (У), «р, (Л,. У) ) I > «-Но так как последовательность <fv (х, у) равномерно сходится к нулю вместе со всеми производными, то функции <р* (у) = <j>^ (xv у)
сходятся к нулю, как основные функции в пространстве Ym. В силу непрерывности функционала g (у) мы должны иметь
О (У), "Pi (У)) = (g (У). <fv (•*,. У))^0
в противоречие с предположением. Итак, ф,, (х) равномерно сводятся к нулю; аналогично доказывается равномерная сходимость к нулю и всех производных этой последовательности, чем доказательство и завершается.
бесконечно дифференцируема по х, так как
1]
§ 5. свертка обобщенных функций
133
Особенно просто выглядит прямое произведение в применении к основной функции ср (дг, у), являющейся произведением основных функций cpt(x) и ср2(_у). В этом случае, согласно определению прямого произведения,
(/ (*) X g(y), «Pi (х) ср2 (у)) = (/ (х), (g(y), срх (х) ср2 (у) ) ) = = (/(*). <Pi(*)teCv). TaOO )) = (/. <Pi)(«. Та)- (3)
Примеры. Прямое произведение 8 (л:) X s (у) есть 8 (лг, у). Прямое произведение 6 (х) X 1 (у) есть функционал, действующий
по формуле (5 (jc) X 1 (у), <р у) ) = Г <р (О, у) dy.
У
Прямое произведение двух регулярных функционалов f(x) и g(y) есть регулярный функционал, отвечающий функции f(x)g(y).
Носитель прямого произведения. Напомним, что совокупность всех точек, из которых каждая обладает тем свойством, что ни в какой ее окрестности обобщенная функция / не равна нулю, мы назвали в п. 4 § 1 носителем обобщенной функции /. Пусть нам известны носители F и G функционалов f п g] спрашивается, как описать носитель функционала h = / X g- Ответ следующий: носитель Н функционала h есть прямое произведение F X О носителей fug; иначе говоря, совокупность Н состоит из тех и только из тех пар (х, у), у которых первая координата х принадлежит множеству F, а вторая у — множеству О.