Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
При желании обойти вопрос о существовании свертки в формуле (7) и получить функцию г»ш (t, ?, — п) в такой форме, чтобы была очевидной возможность ее интегрирования по единичной сфере, следует провести рассуждения, аналогичные приведенным в п. 1 (мелким шрифтом). Мы не будем на этом останавливаться.
Решение задачи Коши для однородных гиперболических уравнений. Формулы Гер-глотца — Петровского. Разберем более подробно случай гиперболического уравнения, не содержащего производных порядка < т.
Особенно простая формула получается в случае нечетного числа измерений: в этом случае
«„(*. 5. — »)=C^i-Ge(*. Е). (8)
Таким образом, фундаментальное решение u(t, х) задачи Коши для уравнения (1) выражается через фундаментальное решение йш((, ?) задачи Коши для уравнения (3) по формуле
174 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
Л- А\-р(± ± dt • dx)~~^\df dxt'
называется гиперболическим, если при любых значениях
Однородный оператор Р , JL) = Р (±, ± , ... , JL )
ш
1>
i' 2aV==l> уравнение от-го порядка относи-
тельно v
Р (v, <»1.....">и) = 0
имеет от вещественных и различных корней. Мы имеем задачу
при условиях
д*и dt*
дт-1
t=0
и
"(Ж- ?) —« = 0 (А = 0.1. ....
т
2),
dt
ОТ—1
2л*
*=0
га
(П)
(12)
(13)
Как мы уже говорили, решение этой задачи сводится к решению следующей одномерной задачи Коши:
Р°{ж- ж) и«>==Р\тг ^Ж' •••• шп|"Н = 0 (14)
при условиях
dt*
t=0
0 (k = 0, 1, .... от — 2),
(15)
»-i /X -r-1\ '
Как легко проверить, уравнению (12) удовлетворяет всякая функция /(2 + Где ^ — какой"либ° корень алгебраического уравнения (11). Все корни этого уравнения вещественны и различны в силу гиперболичности уравнения (12). Решение /(2 хкши Н~ представляет собой плоскую волну, распространяющуюся со скоростью —Vj.
Будем искать решение задачи Коши (14) — (15) в виде суммы одинаковых плоских волн
(16)
2 «>*¦**) = 2^/( 2 хкшк + Vjt).
д
3] § 3. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 175
(17)
Отсюда
Ci ~ (vj — Vi)... {Vj — vj--,) (Vj — vJ+1)... (vj — vm) О 8)
Для определения /(?) нужно m—1 раз проинтегрировать I ? |\ Мы получаем:
f(~__1 j Jg)x+^-i (sgn i
/ (l) =-»=1 /x , 1V I (X + l)...(X + »-l) H- <?x © I. (19)
Q-« 3 r(* + I)
где
Qx(S)— 2 (2Л—l)!(i» —2Л——2Л) (2°)
fc-i
(cp. § 3, n. 4).
Итак, в рассматриваемом случае решение задачи Коши (14) и (15) найдено в явном виде:
Q„it 4 Г
() 2шкХк+v lx+m 1 [s§n (2+и/)1
от—1
(X-f-l)(X + 2) ... (X-f-m — 1) ^
+ Qx(2^4-V) J. (21)
где Cj определяются по формулам (18), a Qx(S) — по формуле (20).
распространяющихся со скоростями Vj. Суммирование в формуле (16) ведется по всем корням уравнения (11). По начальным условиям определяем Cj и / из уравнений
2 cj = о, 2 ^=о.....2 c/v?-* = о. 2 с/о?-1 = 1,
176 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ .[3
Решение исходной задачи Коши (12) и (13) получается из (21) интегрированием по единичной сфере . . . -f-<o3i= 1:
u(i, xt.....хп\ Х) = f ию(*> 2(0ftX*)d2- ^22^
я
При X = — n из этой формулы, как и раньше, получается фундаментальное решение задачи Коши.
В формуле (22) интегрирование проводится по единичной сфере. Выбор сферы в качестве поверхности интегрирования является здесь по существу случайным; поэтому мы сейчас преобразуем эту формулу к виду, более отвечающему существу задачи.
В формуле (22) uw есть сумма т слагаемых, выражаемая формулой (21). Рассмотрим j-e слагаемое:
{12 +vit\x+m~1 ЫпCS •**"*+У)Г~* ,
СЦ (Х + 1)(Х + 2) ... (Х+ттг — 1) "Г-
Сделаем в интеграле по единичной сфере 2 от этого
слагаемого замену переменных, а именно положим =
Мы стремимся к тому, чтобы заменить интегрирование по 2 интегрированием по поверхности P(l, Si, 5П) =
= //(Si, .... ?га) = 0. При каждом фиксированном наборе
значений .....шп уравнение P(v, wt, . . ., шта) = 0 имеет а
различных корней Vy Поскольку эти корни непрерывно зависят от параметров шг, мы можем при изменении шг следить за одним корнем. Когда точка (<ои .... шп) пробегает единичную сферу 2, точка (1, Ьи ?„) описывает некоторую компоненту поверхности Р(1, ^, .... ?та)=0.
Каждая компонента может быть двух типов: 1) при переходе от (cot, .... сота) к (— u)j.....— ш„) соответствующий корень Vj переходит в некоторый другой корень vk; 2) при таком переходе Vj переходит в себя. Компоненты 1-го типа назовем «овалами», компоненты 2-го типа — «непарными кусками». Можно доказать, что если уравнение — четного порядка, то поверхность P(l, $i, ?„) = О*
т т — 1
состоит из -g- о,валов, а если т нечетно, то имеется —g—
31
§ 3. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 177
овалов и один непарный кусок. Мы ограничимся разбором первого случая (черт. 5); второй разбирается аналогично.
Таким образом, нужно учесть, что когда точка (и^.....
пробегает 2, точка (1, ?и .... ?„) пробегает овал, отвечающий двум различным корням Vj и vk. Поэтому, когда мы
