Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим сначала, что ReX^>0. Тогда правая часть уравнения (5) — непрерывная функция от ?, и решение существует в силу классических теорем существования. Далее, при Re X > 0 правая часть зависит непрерывно и от X, поэтому v непрерывно зависит от X. Наконец, коэффициенты уравнения (5), стоящие в левой части, непрерывно зависят от ш (2 — *)> причем модуль старшего коэффициента L9(a>i, <оп), в силу эллиптичности исходного уравнения, имеет положительный минимум. Следовательно, v непрерывно зависит и от to. В частности, v зависит от со и X непрерывно в смысле обобщенных функций.
1] § 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 161
га-1
2 г
и, значит,
— /Х4-1\
Для того чтобы найти достаточно 2/я раз проин-
тегрировать правую часть полученного уравнения. Как мы показали в § 3, п. 4, результат следует считать равным
1 fie \K+im ¦»
*® = »=1 A + 1N- { (X+l)'.(X+2.)+ * <*>} ¦
где
Q*(5) = 2
(2* — 1)! (2/ге — 2А)! (X + 2?)
fc-i
11 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1
Заметим теперь, что при двукратном дифференцировании по ? правая часть уравнения (5) воспроизводится (с точностью до множителя 2Х) с индексом, на две единицы меньшим, если только X ф 0. В силу предыдущих замечаний мы можем найти непрерывно зависящее от со решение уравнения (5) при всех X многократным дифференцированием решения vw (?, X) для Re X > 0 и, если нужно, предельным переходом.
В случае нечетного п нужно начать с дифференцирования vui (?» ^) ПРИ X = 1. После двукратного дифференцирования получится с точностью до множителя функция G (5, <о), так как правая часть уравнения (5) при X = —1 обращается с точностью до множителя в о (?). Дальнейшим дифференцированием мы получим формулу (8).
В случае четного п мы определим решение vw (?, X) при малых положительных X, затем дважды продифференцируем его по 2, разделим на X и устремим X к нулю. В результате получится решение уравнения (5), отвечающее значению X = —2. Дальнейшим дифференцированием получим ош (5, X) при X = —4, —б, ...
Разберем более подробно случай однородного эллиптического дифференциального оператора L(=L0). Обыкновенное дифференциальное уравнение (5) в этом случае приобретает вид
121х
162 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
Таким образом, решение однородного эллиптического уравнения
Г (А- д \ 2гх
задается формулой
и (хи .... хп) =---^- X
^"•"г (-ti)
В частности, при Х =— п получается фундаментальное решение однородного эллиптического дифференциального уравнения порядка 2т.
Заметим, что так как интеграл по единичной сфере 2
от каждого слагаемого в выражении QA 2 Ш/Л ) является многочленом степени меньше 2т и поэтому удовлетворяет уравнению ь[~^-, ^~^и~^< т0 мы можем в фундаментальное решение включить только то слагаемое этого выражения, которое нужно, чтобы полученная функция не имела полюса при X = — п, отбросив все остальные слагаемые.
Разберем более подробно вид фундаментального решения. При этом будем исследовать отдельно случай, когда порядок уравнения не меньше размерности пространства, т. е. 2т%-п, и случай, когда 2т < п. Рассмотрим сначала первый случай 2т^-п. Приходится различать еще случай пространства нечетной размерности п и случай четного п. При п нечетном и 2т > п предельный переход в формуле (10) дает для фундаментального решения выражение
п — 1
и(хи .... хп)= 4(2t)«(2m_„)[/' 1 *td®'
00
Многочлен Qx(') здесь отброшен, так как для предельного перехода он не нужен.
1] § б. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 163
п-1
v \ 2 У ^(«-2m-i) ^
(л — 2/л — 1)! Х = — п
для нечетного л и
для четного д. И*
В случае четного л и 2т^> п при Х =— л для получения конечного значения приходится добавлять к функции
(Т+ 1)... (X + 2m) 70 слагаемое многочлена Qx (2j коэффициент которого содержит множитель д^г~' а именн0
р2т— та
--гггтп-s, ,-, ,—г. При этом сумма
(л — 1)! (2/и — л)! (X + л) ^ 3
j ^ |Х + 2-от ?—п+Злг
(X + 1) ... (X + 2т) + (л —1)1 (2т — л)! (X -(- л)
лри Х-> —л стремится к —(/г — 1)! (2т — л)! * и МЫ полУчаеМ следующее выражение для фундаментального решения:
и (xv .... хп) — (27t)'« (2/и — л)! Х
Г ("1*1 + ¦ . . + <*пХп)2т~П i" |">1*г + • • ¦ + ">та^та I dn /-12) Х J L((ob .... <ип)
а
Заметим, что когда порядок уравнения не меньше размерности пространства, интегралы по сфере сходятся, и функция Грина представляет собой обычную (необобщенную) функцию от хи х2, .... хп, непрерывную в точке х± —- х2 '— • * - —¦ хп -— 0.
Перейдем к случаям, когда порядок уравнения меньше размерности пространства (2т << л).
В этих случаях
164 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
Отсюда для фундаментального решения получается при нечетном п (2т <. п) выражение
И (Х±, • • •» хп) ==
и при четном п (2т < п) выражение .....=
т
п , 2
(—1Г (п — 2/тг— 1) ~~ (2п)п
(Н)
Можно показать, что фундаментальное решение a(jci, .... хп), выраженное формулами (11)—(14), всегда представляет собой обычную (не обобщенную) функцию, притом обладающую следующими свойствами: при х Ф О она аналитична, а в окрестности начала координат удовлетворяет соотношению
