Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(Л. ? (4-) ) = аХ+1 СЛ. <Р) -Ь^х+1 In а (/о, Т), (2)
где /0 — обобщенная однородная функция степени X. Вообще, для любого k обобщенная функция Д. называется присоединенной однородной функцией k-го порядка степени X, если для всякого а > О
(/*. <р(4-)) = аХ+1<-Л' ?)-Ь^+ЧпаС/Л_1. ?). (3)
где — присоединенная функция (А—1)-го порядка.
Выясним теперь, что представляют собой присоединенные обобщенные функции различных порядков и произвольной степени X. Для этого заметим, что если /х — обобщенная однородная функция степени X, дифференцируемая по X, то ее производная по X будет присоединенной функцией 1-го порядка.
Действительно, продифференцировав по X тождество
(Л. ?(v)) = «X+1(/x. ?).
имеем:
т. е. ^--присоединенная функция Г-го порядка. Анало-
гично производная по X от присоединенной функции k-ro порядка есть присоединенная функция (A-(-l)-rb порядка.
2. Разложение функций х\ и Xх- в ряд Тейлора и ряд Лорана. Естественно, что при разложении однородных функций х\ и им аналогичных в ряд Тейлора или ряд Лорана получаются присоединенные функции.
Разложение функции х\ в окрестности регулярной точки Х0 в ряд Тейлора имеет вид
х\ =^+(Х-Х0)А^+|(х_Х0)^^-г-..- =
= Xх?. + (X — Хо) Xх? In х+ + i-(X-Xo)2 Xх?. In* *++... (1)
114 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
+1**-**<»« + Ъ'0Ш№'- (2)
при —п—l<ReX<—п имеем:
со
Xх \птху(х) dx —
со
= f Xх In- х [ср (дг) — ? (0) — . . . — ^i-, ср(«-Ч (0)] dx. (3)
(Л.
В окрестности полюса X = — п функция х\ разлагается в ряд Лорана с главной частью степени —1. Чтобы написать это разложение в явном виде, выделим из регуляри-зованного значения интеграла
со
x
У Xх ср (дг) dx — 0
со
= f Xх [ср (X) — ср (0) — X ср' (0) - . . . - fr^ty (0) j dx>
В этом разложении участвуют новые обобщенные функции
х дт х х+ \пт х+ —-х+ (т = 1, 2, . . .).
Здесь т-я функция является присоединенной функцией т-го порядка. Явные определения этих функций можно получить либо тем же путем, что и определения обобщенной функции х\, либо /га-кратным дифференцированием по X формул (3) и (4) п. 2 § 3; так при Re X >—я—1, ~кф — 1, — 2, . . ., —п имеем:
1
(хх+\птх+, <р) = fлгх1птлг[ср(лг) — ср(0) — лгср'(О) — ... о
2]
§ 4. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ
115
то слагаемое, которое перестает сходиться при Х =— я, т. е. запишем этот интеграл в таком виде *):
со 1
f xx9(x)dx = f хх[ср (х) — ... — f~\ <p("-i) (Q)] dx + о о
со
+ /V [, w _ ... _ ^ ^ (0)] „+:
Сумма интегралов в правой части этого равенства есть правильная часть ряда Лорана, к которому мы вскоре придем. Она представляет собой аналитическую функцию от X в полосе |ReX-r-tt]<l. Мы обозначим этот функционал через F_n(x+, X), Таким образом,
со
(F.n(x+, X), <р) = f хх[?(х) — ср(О) — хср'(О)— ... о
• • • - <Bh ^-3) <°> - (S)T с»)6 о - *> ]
где 6 (х) — функция, равная Опри х < 0 и 1 при лг > 0. Иначе говоря, последнее слагаемое под знаком интеграла принимается во внимание лишь при 0<х< 1, а при х> 1 заменяется нулем; таким образом, написанный интеграл оказывается сходящимся и при х = 0, и при jc —оо.
Особую роль играет значение этого функционала при
Х = — я, которое мы обозначим через х+п, т. е. значение при Х = — п правильной части лорановского разложения
для х\ в окрестности Х = — я:
х+п = Ит Аг(х_г-Я)л-Х+].
*) Вместо j хх+п~~1 dx мы могли бы вычислить интеграл 1
со
J хх+п~1 dx для любого а ^> 0. При этом пришлось бы paataa-а
гать в ряд Тейлора ах+п и дальнейшие формулы стали бы более громоздкими.
116 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
Отсюда видно, что обобщенная функция х+п есть присоединенная функция 1-го порядка степени —п. Этот функционал действует на основную функцию ср по формуле
со
= f *-¦»[?(*) — ср(О) — ... _^=1.1(рс«-1)(0)е(1-х)]йх.
о
(4)
Подчеркнем, что обобщенная функция х+п не есть значение функции л:+ при X — —- п; последняя функция при X—>-— п имеет полюс и, следовательно, при Х = —п не существует. Тем не менее, функционал х+п является некоторой регуляризацией обычной функции х+п.
Отметим любопытную формулу дифференцирования функции х+п по х. Мы имеем:
*+п. <р(*)) = -(*Г> <p'w) =
со
= - f х-п [у (х) - Т' (0) - ... - <р(п) (0) 0 (1 _ x)Jdx =>
о
1
= - fx~n[<t' W-f' (0)~ ... - {*^1у ?<">(())] rf*-о
со
-/ х-п |> (х) - у' (0) - ... - с/""1) (0)]
1
Произведем в каждом из слагаемых интегрирование по частям; в результате получим
СО
«= — У лдг-и-1 7 (лс) — «r (0) — ... — ^<f(n)(0) 9 (1 — дг) rfjt-f-
, ?W(0)
2] § 4. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ' 117
легко проверить, что явные определения этих обобщенных функций получаются заменой в формуле (5) х~п соответственно на х~п\пх, х~п1п2х и т. д.
Как мы видим, эти обобщенные функции суть присоединенные функции степени —п и порядков 2, 3, 4, . . .
Теперь, после того как введены обобщенные функции
