Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(ИГ--1. ?) =
со
= / x-^-i{cp(x) + cp(— x)-2[cp(0) + f ?"(0)-г- ... о
• • • + (И)! ?t2TO-2) (S ^ (0) 6 0 —*>] } ^
(— 2/п — 2 < Re X < — 2/и), (7)
где б (х) имеет тот же смысл, что и выше.
Аналогично обобщенную функцию х+2т—х!2от мы будем обозначать через |x[_2mzgn х; она применяется к основной функции ср(лг) по формуле
(\x\-2msgnx, «р) =
СО
= f х-*™ {ср(х) — ср(— х) — 2 [хер'(0)+^%-(0)+ ... о
• • ¦ + (2^)! ?(2т~3) (°) + (15)! <°> 9 (1 "*>] } ^
(— 2яг — 1 < ReX< — 2т-\- 1) (8)
и т. д. Окончательно требуемые лорановы разложения записываются в форме
1 * 1 — Z (2т)! X + 2т + 1 ^ I х I ^
4_(Х4-2да4-1)|дгГат-11п|лгЦ- (9)
i*J*sgn* = -2 (2m_iyx-ni-4-|xl sgnx4-
4-(X4-2m)| x|"2mln| x| sgnx4- ... (10)
122 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
В этих рядах первые коэффициенты S(2ot)(jc) и о(2пг~1) (х) суть однородные функции степени соответственно —2т — 1 и —2т — 2, а следующие коэффициенты — присоединенные функции той же степени и порядков 1, 2, 3, . . .
В частности, полагая в равенстве (5) т — 0, получаем разложение функции \х\х в окрестности полюса X —— 1:
1*1Х = 2^?Г + |*Г1 + (Ь + Г1 In |*|+ ... (П)
При этом функционал | хопределяется формулой
со
О
оо
/*?(¦*) — ? (0) 8 (1 -J х
dx, (12)
где множитель 6(1 — х2) указывает, что слагаемое ср (0) нужно учитывать только при |х|^1, а при |лг|>1 заменить на нуль.
Введенные выше обобщенные функции
|*Гаж-1 = *;Яя-1 + *1ая1-1.
Ur2msgnx = x;2m — x~Jm
не являются значениями аналитических функций \х\х и | х \х sgn х при соответствующих значениях X (—2т—1 и —2т). В указанных точках функции J лг |х и [ х |х sgn х имеют полюсы 1-го порядка, и величины \х\~2т~1 и | х|~2тоsgn х суть значения правильных частей соответствующих рядов Лорана в этих полюсах.
Можно рассмотреть и обобщенные функции
у—2т j х— 2т
X
-2т-1.
легко 'убедиться, что первая из них совпадает с обобщенной функцией х--т (значением | х \х в регулярной точке Х=—2т), вторая — с обобщенной функцией х~г,п~1.
4] § 4. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ 123
Мы ввели в п. 5 § 3 нормированные функции х\ Xх. | х Iх | х |х sgn X
' i'(X+i) ' г j^+iy г (* + 2) ' (13>
Эти обобщенные функции уже не имеют особенностей. Разлагая числители и знаменатели дробей (13) в ряды Тейлора (или Лорана) и производя по обычным правилам деление рядов, можно построить разложения полученных функций в ряды Тейлора в окрестности любой точки X. Разложение Г(Х-4-1) по степеням X
Г(Х+1)= l+ClX-f-c2X2+C3X3-L. ....
хорошо известно *); здесь ct = с = 0,505 ... — постоянная Эйлера, а коэффициенты с2, cz, ... вычисляются по рекуррентным формулам
га
cn+l = ^pгS(~1),':+1Cи-л+1, si = c' s„ = C(ft).
fc = 0
В частности, при Х = 0 получается разложение
хх+ _ 8 (х) + X In х+ -+- ... _ Г (Х+ 1) ~ " 1 + ск + ...
= в(*)-|-Х(1плг+—c6(x))4- ..." (14)
4. Функции (x-\-iQ)x и (X—/0)х. Эти обобщенные функции были введены в п. 6 § 3. Мы рассмотрим их здесь более подробно. Указанные обобщенные функции для ReX>>—1 были определены как пределы выражений (x-\-iy)x и (л* — 1у)х при _у->-|-0; это привело нас к формулам
(х -4- Ю)х = хх+ 4- е1ы хх_> (1)
(х — Ю? = х\-\-е- ik*x\. (2).
Правые части формул (1), (2) допускают аналитическое продолжение во всю плоскость X; этим аналитическим
*) И. М. Рыжик и И. С. Г*радштейн, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (изд. 3-е, Гостехиздат, 1951), стр. 331, формула (6.321). В дальнейших ссылках на эту книгу будем писать кратко: «И. М, Рыжик и И. С- Г р а д щ т е й н, Таблицы-»,
124 гл. i. простейшие свойства обобщенных функций [4
продолжением мы определяем для ReX^—1 и левые части равенств (1), (2). Мы уже заметили, что при аналитическом продолжении правых частей особенности в точках Х =— 1, —2, .. . исчезают; теперь мы найдем в этих точках и сами значения функций (х -j- г*0)х и (х — /0)х.
В п. 2 мы записывали лорановы разложения обобщенных функций хк+ и х1_ в окрестности точки X = — п следующим образом:
V-DKX + 4Х) + ^-п(*+> Ъ О)
(п-1)
^-(B:;),;(+B)+f-^<-x)- <4>
Здесь F_n(x+, X) и F_n(x_, X) — правильные части рядов Лорана; их значения при Х = — п обозначены в п. 2 соответственно через х+п и xZn. Напишем еще
в±и« = (_1)»в±*(х+»)«==(_1)П[1 + ^(х_|_л)тец_ (5)
Подставляя выражения (3)—(5) в правые части формул (1) и (2), сокращая члены с особенностями и переходя к пределу при X—>¦ — п, мы получаем:
(х ± ЮУП = xZn + (-!)» xZn + ^Г^Г о(П-1} (*).
В п. 3 мы отмечали, что при четном п = 2т
xZ2m + xZ2m = x-2m = \x\^
а при нечетном п = 2т-\-1
Таким образом, окончательно
(х + ЮГп = х-п- 8<»-Ч(*), (6)
4] § 4. присоединённые функций 125
(9)
Отметим, что, как видно из формул (1) и (2) при X Ф—1, —2, ... и из формул (6) и (7) при Х = — п = = —1. —2.....
jL(x-\-iO)x=l(x + lQ)x-\ (10)
±(х — 10? = \(х-^10?-\ (11)
Так как при дифференцировании индекс понижается на единицу, то формулы (10) и (11) можно было бы положить в основу определения обобщенных функций (x-{-i0)x и (х — Ю)х при Хф—1, —2,... Например, (х-\- Ю)~*/я можно было бы определить как —2 ~ (х-}- /0)_1/s, где
