Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
3-1
25 Ai = J r'dm,
где г,—расстояния от точек твердого тела до оси Ii. Числа A1 называются моментами инерции тела относительно оси Ii. Кинетическая энергия твердого тела
Г==И УЧт =
ввиду формулы r=<fe, о)>/2 = <Ло), ы>/2, является квадратичной формой от угловой скорости.
Пусть Єі — единичные векторы осей инерции, занумерованные так, что е\Хе2=е3, • • • . Пусть O1, v2, V3 — левоинвариантные векторные поля на SO (3), которые являются прообразами векторов еи е2, е3 при изоморфизме / : so (S)^-Ri{а>}. Ясно, что [¦Oi, V2] = 'Уз, [v2, D3I=D11 \v3,v\=v2. (8)
Пусть to =2 Тогда
Г = (Л1ш2,+ Л2ш22+Л3(о2з)/2. (9)
Используя формулы (8) и (9), запишем в явном виде уравнения Пуанкаре в отсутствии внешних сил:
A1U1 = (A2-A3) со2(о3, A2Vг=(A3-A1)M3Pu
А3щ =(Л, — A2) W1O2. Эти уравнения, полученные впервые Эйлером в 1758 г., можно заменить одним векторным уравнением Ац> 4-©ХЛи = 0.
Рассмотрим теперь более общий случай, когда твердое тело находится в осесимметричном силовом поле с силовой функцией V. Ввиду уравнений Пуанкаре, в правую часть уравнений Эйлера надо добавить слагаемые t»,{ (V). Пусть у=Zyiei — единичный вектор оси симметрии поля. Очевидно, что V= = V(Yi> 72, Уз). Условие постоянства вектора 7 в неподвижном пространстве эквивалентно уравнению
Y = YXb, (Ю)
которое называется уравнением Пуассона. Из формулы
*-<4f.Y>-<4?-.YX®>-<». ^-XY)
и соотношения (7) получаем уравнение движения твердого тела
Лй) + (і>хЛ<і>=уХ-^. (H)
Замкнутая система уравнений (IO)-(Il) называется уравнениями Эйлера—Пуассона.
Пример 4. Укажем еще задачу о движении твердого тела в безграничной идеальной жидкости. Пространством состояний твердого тела является группа движений трехмерного евклидова пространства L(3). Ее алгебра /(3) есть полупрямая сумма
26 алгебры вращений so{3) и трехмерной коммутативной алгебры трансляций. Вращение твердого тела описывается уравнениями Кирхгофа (G. R. Kirchhoff) (1870)
k=kXm+eXu, ё=еХ«>,
где W = Я/, U=He', H (k, е) { Ak, А) + < Bk, е ) +
+ J < Ce, е ) —кинетическая энергия системы «тело+ жидкость»,
А, В, С — симметрические операторы. Векторы © и k — угловая скорость и кинетический момент, а е и и — «импульсивная сила» и «импульсивный момент» тела в жидкости.
Можно показать, что уравнения Кирхгофа являются уравнениями Пуанкаре на алгебре /(3). Подробное обсуждение задачи Кирхгофа можно найти в книгах [140], [162].
2.5. Движение со связями. Будем говорить, что на лагран-жёву систему (M, L) наложены связи, если в каждый момент времени t€Д в пространстве состояний TM выделено подмногообразие 5, которое локально задается уравнениями
/i(?. q,t)=... =fm(q, q, t)=0
с линейно независимыми ковекторами ,..., . Связями
допускаются лишь те пути ю:Д-»-Ж, для которых (и (0» при всех /6Д. Обычно рассматривают линейные связи, когда функции fs линейны по скоростям.
Лагранжевой системой со связями называется тройка (M, L, Sy, смысл обозначений уже разъяснен.
Касательные векторы \?FqM, удовлетворяющие уравнениям
Zif--S-...-/;.-6-0,
называются возможными скоростями системы (М, L, S) в момент времени /ив состоянии (q, q)GS. Корректность этого определения вытекает из леммы 2.
Определение (принцип Даламбера—Лагранжа (J. R. d'Alembert—J. L. Lagrange)). Допустимый гладкий путь q: Д-*-М называется движением лагранжевой системы со связями (M1L1S), если в любой момент времени /ЄД значение [?],«)• I = O для всех возможных скоростей ? в состоянии
(q(t), kit)).
С помощью этого принципа можно записать замкнутую систему уравнений движения:
п
W-hpjf'.r /і-...-/«-о. (12)
j-i 14
Они называются уравнениями Лагранжа со множителями. Если матрица
4-2
(13)
невырождена, то множители ц,- можно представить в виде функций состояния системы и времени. В этом случае уравнения (12) являются дифференциальными уравнениями на S (возможно, неавтономными) и поэтому лагранжевы системы со связями подчиняются принципу детерминированности.
Принцип Даламбера—Лагранжа имеет несколько эквивалентных формулировок. Мы приведем две из них, принадлежащих Гауссу (С. F. Gauss) и Гёльдеру (О. L. Holder).
Введем, следуя Гауссу, множество мыслимых движений — гладких путей qv: Д-*-М, допустимых связями и имеющих в некоторый фиксированный момент t0?Д одно и то же состояние (а, и) eS. Путь qo : А-*-М с тем же состоянием в момент времени t0 назовем освобожденным движением, если [L],e (<)=0,/6Д. Наконец, действительным движением qa : А-*-М назовем отображение, удовлетворяющее принципу Даламбера—Лагранжа и начальному состоянию qaiU) =а, q<i(to)=v. Подчеркнем, что в отличие от мыслимых и действительных движений освобожденные движения в общем случае не удовлетворяют уравнениям связей.
Пусть снова A = Lyq и пусть qa (t), q& (t) — произвольные гладкие пути с одним и тем же состоянием (a, v) в момент Квадратичная форма
Z= T И (la — • (<7а — <7?))|f. называется по Гауссу принуждением. Легко проверить, что при заменах локальных координат на Af разности ускорений qa—qt при t = t0 преобразуются как касательные векторы. Следовательно, согласно лемме 3, принуждение определено инвариантно. За меру «отклонения» движений можно принять значение принуждения.
